2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质课教案

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

学习目标

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易错点)．

预习教材P94－97完成下面问题：

知识点1平面向量的坐标表示

1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．

2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．

3．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．

4．坐标表示：a＝(x，y)．

5．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．

【预习评价】

思考

根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1．

答案

a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3) 知识点2

平面向量的坐标运算

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：

加法

文字描述

两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和

两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

符号表示

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)

减法

a－b＝(x1－x2，y1－y2)

数乘

λa＝(λx，λy)

重要

结论

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点

的坐标减去起点

的坐标

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，→则AB＝(x2－x1，y2－y1) 【预习评价】

已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝________．

解析

2a－b＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)．

答案

(5,7)

题型一

平面向量的坐标表示

【例1】

如图，在直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，→→OA＝a，AB＝b.四边形OABC为平行四边形．

(1)求向量a，b的坐标；

→(2)求向量BA的坐标；

(3)求点B的坐标．

解

(1)作AM⊥x轴于点M，

则OM＝OA·cos 45°＝4×AM＝OA·sin 45°＝4×2＝22，

22＝22，

2∴A(22，22)，故a＝(22，22)．

∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，

∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3．

3333→→－，3，∴AB＝OC＝－，3，

∴C222233－，3．

即b＝2233→→，－3．

(2)BA＝－AB＝2233→→→(3)OB＝OA＋AB＝(22，22)＋(－，3) 22

333＝22－，22＋．

22333∴点B的坐标为(22－，22＋)．

22规律方法

求点和向量坐标的常用方法

(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．

(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．

题型二

平面向量的坐标运算

→→【例2】

(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝(

) A．(－7，－4)

C．(－1,4)

B．(7,4) D．(1,4) →解析

设C(x，y)，则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即x＝－4，y＝－2，故C(－4，

→－2)，则BC＝(－7，－4)，故选A．

答案

A →→→1→(2)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB＋2BC，BC－AC的2坐标．

→→→解

因为AB＝(－2,10)，BC＝(－8,4)，AC＝(－10,14)，

→→所以AB＋2BC＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)，

1→1→BC－AC＝(－8,4)－(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．

22规律方法

平面向量坐标运算的技巧

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．

考查

方向

方向1

由相等的向量求参数的值

【例3-1】

已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．

解析

ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，

题型三

平面向量坐标运算的应用

2m＋n＝9，m＝2，即解得

m－2n＝－8，n＝5，

所以m－n＝－3．

答案

－3 方向2

向量运算与平面几何的综合应用

【例3-2】

已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．

→→→→解

当平行四边形为ABCD时，设D(x，y)，由AB＝(1,2)，DC＝(3－x,4－y)，且AB＝DC，得D(2,2)．

→→→→当平行四边形为ACDB时，设D(x，y)，由AB＝(1,2)，CD＝(x－3，y－4)，且AB＝CD，得D(4,6)．

→→→→当平行四边形为ACBD时，设D(x，y)，由AC＝(5,3)，DB＝(－1－x,3－y)，且AC＝DB，得D(－6,0)，

故D点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．

规律方法

坐标形式下向量相等的条件及其应用

(1)条件：相等向量的对应坐标相等．

(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．

课堂达标

→1．已知点A(－2,1)，B(3，－2)，则BA的坐标是(

) A．(－5,3)

C．(－5，－3)

→解析

BA＝(－2,1)－(3，－2)＝(－5,3)．

答案

A →→→2．若AB＝(3,5)，AC＝(－1,2)，则CB等于(

) A．(4,3)

C．(－4,3)

B．(－4，－3) D．(4，－3) B．(5，－3) D．(5,3) →→→解析

CB＝AB－AC＝(3,5)－(－1,2)＝(4,3)．

答案

A 13．已知平面向量a＝(－2,0)，b＝(－1，－1)，则a－2b等于(

) 2

A．(1,2)

C．(－1,2)

B．(－1，－2) D．(1，－2) 1解析

a－2b＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2)．

2答案

A →1→4．已知点A(2,1)，B(－2,3)，且AC＝AB，则点C的坐标为________.

21解析

设C(x，y)，则(x－2，y－1)＝(－4,2)＝(－2,1)，

2∴x＝0，y＝2．

答案

(0,2) →5．已知A(2,0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若a＝OA，其中O为原点，求x，y的值．

x＋3＝2，x＝－1，解

由题意知解得

x－3y－5＝0，y＝－2.

课堂小结

1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示．

2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．

3．向量坐标形式的计算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．