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课题：勾股定理习题 教学分析

教材分析： 本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有着及其广泛的应用。直角三角形是一种常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°角所对的直角边等于斜边的一半。直角是生产和生活中最常见的特殊角，勾股定理指出来直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形与数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要作用。

勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响。没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦。所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一。

从学生学习的心理基础和认知特点来说，八年级的学生虽然缺乏七年级学生那种强烈的新奇感，但他们已经具备了一定的动手能力和分析归纳能力，而且勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上学习的，所以需要通过各种教学手段调动学生的学习积极性，并进行适当的引导，引导学生在探索中理解并掌握勾股定理。在勾股定理学习之后再学习逆定理就简单多了。

本章的学习要让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程。在勾股定理学习中体现从特殊到一般的探索、发现和证明的过程，而逆定理的学习，又体现从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程。这样能培养学生学习数学的兴趣，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力，培养严密审慎的思考习惯，培养科学精神。

本节课是习题课，习题课的设计意在复习勾股定理和勾股定理逆定理上，体会生活中的实际应用。一方面加深学生的知识基础，另一方面培养学生独立思考的习惯。通过题型的变式、变换也要培养学生的合作交流意识与创新意识，为学生在今后生活和学习中更好的运用数学作准备。

在情感态度、价值观方面，适度引入与勾股定理有关的数学历史文化背景，特别介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生热爱祖国的思想感情，培养民族自豪感，教育学生为振兴中华努力学习，打好数学知识基础。

教学目标： 1、会用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2、经历勾股定理及逆定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件，在习题中逐步体会分类讨论、数形结合、方程建模数学思想。

3、通过学生活动，激发学生的学习热情，培养学生的学习兴趣，培养学生的民族自豪感。

教学重难点：

重点：勾股定理及逆定理的综合应用

难点：利用勾股定理及逆定理解决实际问题

教具准备：

多媒体课件、三角板

教学过程设计

一、

复习引入，明确任务

孔夫子言“学而时习之，不亦说乎”，学过的知识要时常温习，今天，让我们重温勾股定理。（板书课题：勾股定理）勾股定理这一章主要包含2大内容，一是勾股定理，一是勾股定理的逆定理那什么是勾股定理？请同学们回忆勾股定理的内容。

（幻灯片出示章节知识储备）

（设计意图：借助于文学名句来复习导入，既能温习旧知，巩固所学，又能为后面习

题的开展奠定基础。）

生：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c,那么一定满足a²+b²=c²

师：非常棒。追问：那在直角三角形中一定满足a²+b²=c²吗？

学生：不一定，要是满足这个关系，c必须是斜边。

师：那勾股定理的逆定理呢？

生：如果一个三角形的三边长满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形。

师：同学们对基础知识掌握很到位。那这两个定理是什么关系？它们又适用于什么图形呢？

生：互逆定理，

直角三角形

师：大家都非常聪明，那本章习题的设计该如何考查呢？我们一起来看看习题的设计

其中前三个是基础应用，生活应用是本节课研究的重点。接下来，让我们逐一突破。

（设计意图：复习导入，温故旧知，出示习题的几大类型，明确本节课的学习重难点，明确目标，让学生心有目标，明确本节课所学，学什么？怎样学？使学习更有方向和针对性。）

二、

夯实基础，熟练应用

1、

Rt△，知二求一，体会分类思想和方程思想。出示问题：

（1）直角三角形两 直角

边长分别是3,4,则第三边长为（）

（2）变式：把上题中的红字“直角”去掉，那填什么？

（3）三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC（体现分类思想）

（4）在△ABC 中，∠B =90°，AB:BC＝3:4 ,AC=10,则AB= ,BC= . （5）变式：如图,BC＝4 ,AB=x,AC=8-x, 则AB= ,AC = 。

2、

与数轴、坐标系的综合

（1）如何在数轴上表示出17的点？

（2）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(1,2)，则OP的长为（ ）

3、

已知三边长，判断△形状

已知三角形的三边长为 9 ,12 ,15 ,则这个三角形的最大角是 度; 追问：最长边上的高是？

（设计意图：通过具体习题的设计，让学生更好地掌握勾股定理及其逆定理的相关知识，并做到熟练应用基础题目）

三、

突出重点，突破难点

师：下面让我们重点研究生活中的实际应用

1、下面我们先解决求旗杆、梯子、水深的长度等问题： 在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米, 一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红

莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少? 生：上台讲解并板演解题过程

（设计意图：让学生规范步骤是求长度的关键，既强调了解题步骤，又训练了学生的运算能力，又体现了方程思想。）

2、最短路径

（1）如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( π

取3）是( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定

（2）如图，一条河同侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为AC=1，

BD=2，CD=4，现欲在河岸上M处建一个水泵站向A、B两村送水，当M在何处时，到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。

生：上台讲解

（设计意图：体现常考点的同时，引导学生明确最短路径的选择一是借助展开图，二是做对称点）

3、折叠问题

矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求DE的长

生：讲解解题思路和过程，师完善规范解题步骤

（设计意图：让学生感受数学折叠中的数形结合思想和方程思想）

4、

面积问题

（1）如图所示是一块地，已知AD=8米，CD=6米∠D=900，AB=26米，BC=24米，求这块地的面积。

（2）变式：如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。

（设计意图：让学生体会作辅助线，用割补法构造Rt△求面积）

（3）在直线上依次摆放着三个正方形，斜放置的正方形的面积是1,正放置的两个正方形的面积依次是S1、S2，S1+S2=

（4）在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=

（5）一图多变

（设计意图：及时检查学生对知识的掌握和灵活应用情况，通过生活中实际问题的出示，逐步解决，让学生体验参与其中的乐趣，发挥了教师的主导地位，层层引导，循序渐进，让学生发现问题并解决问题，真正彰显了学生的主体地位）

四、

小结归纳，知识梳理 由勾股定理，我想到了哪些题型，收获了什么？

学生归纳

“这节课，我学会了...”

（设计意图：从各类题型入手，让学生对所学知识有个整体意识，再者自己归纳的内容更便于理解和掌握）

五、达标自测，落实堂清

出示三个题目，要求学生独立完成。

1、下列说法中正确的是（ ）

A. 在 Rt△ABC 中，一定满足a²+b²=c²

B.△ABC中，如果∠A：∠B：∠C=3:4:5，则这个三角形是Rt△

C.△ABC中，如果∠A-∠B=∠C，则这个三角形是Rt△

D.△ABC中，如果a：b：c=1:2:3，则这个三角形是Rt△

2、在平面直角坐标系中，点P（2,3）到原点的距离是_______。

3、如图，受海啸影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？

4、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

（设计意图：检查学生本节课的学习效果，也是堂堂清的落实和反馈）

六、板书设计：

勾股定理

勾股定理

学生板演

Rt△，知二求一 解：设水深为x米，则 与数轴、坐标系综合 红莲长为（x+1）米

逆定理 应用 判断△形状 水深 x²+2²=（x+1）²

最短路径 解得x=1.5 生活应用 折叠 答：水深为1.5米

面积

课后反思

本节课整体设计思路很清晰：复习引入，明确任务---夯实基础，熟练应用---突出重点，突破难点---小结归纳，知识梳理---达标自测，检查堂清

复习引入，明确任务-复习这一章节内容，让学生回顾本章内容，为后面习题的开展奠定基础。夯实基础，熟练应用-通过展示勾股定理和逆定理的基础应用，熟悉基础题型，通过变式题型加强对基础知识的灵活应用，使学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的基础知识做到熟练巩固。突出重点，突破难点-以常考的四大实际问题为依托，重点研究定理在实际生活中的应用，如何在实际生活中提炼数学模型是攻克的难点，学会作辅助线，构造Rt△，将实际问题转化为数学问题，是突破口。通过题型的变式、变换，拓展学生解题思路，进一步发展学生的数学思想。小结归纳，知识梳理-梳理知识，形成知识体系，万变不离其宗，在纷繁的题型中回归基础，以不变应万变。达标自测，检查堂清-出示达标测试题，争取人人有收获，检查堂清的落实。

我通过应用题型的出示引导学生构建知识框架，通过题型的变式激发学习兴趣，通过题型的各类变换引导学生积极思考、拓展提高。也注重让学生在数学课堂中体会分类思想、数形结合思想、方程思想。整个学习过程中充满了师生之间、生生之间的交流与互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者和合作者。

在面积应用时，通过作辅助线，构建Rt△利用割补法求面积，这是建构思想的体现，通过一题多变，一图多变，强调知识之间的灵活与综合，不断激发学生的求知欲，进一步提高学生的观察能力、思考能力、灵活应变能力。

精选题目，在学生板演环节，题目的设计有易有难，在实际应用中，题目的设计类型多样，几乎涵盖了勾股定理应用的几种常考点，不论是从形式还是内容，都体现了题目设计的阶梯性。

不足：板书欠缺美观，应该更工整些。