2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案公开课一等奖

2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》

【教学目标】

1．了解平面向量基本定理；

2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】

复习引入：

1．

实数与向量的积

实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa.（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；λ=0时，λa=0.

2．运算定律

结合律：λ(μa)=(λμ)a；分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb.

3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa. 新授课阶段

一、平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2. 探究：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得



1

1

axiyj…………○1○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○2○2式叫其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2○做向量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 三、平面向量的坐标运算

（1）若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j，即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2).

（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB=OBOA=( x2，y2) -(x1，y1)= (x2 x1，y2 y1). （3）若a(x,y)和实数，则a(x,y). 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y). 例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标. 例2 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.

2

例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)， C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC，得D1=(2，2). 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，0). 例4 已知三个力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标. 解：由题设F1+F2+F3=0，得：(3，4)+ (2，5)+(x，y)=(0，0)，

即：32x0,x5,∴∴F3(5，1). 45y0,y1.aaaa例5 已知=(2,1),b=(－3,4),求＋b，－b，3＋4b的坐标. 解：a＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，

a－b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，

3a＋4b＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19). 点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解. 例6 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标. 解：设点D的坐标为（x,y）,

AB(1,3)(2,1)(1,2),DC(3,4)(x,y)(3x,4y),且ABDC,(1,2)(3x,4

y).即 3- x=1,4-y=2. 解得x=2,y=2. 所以顶点D的坐标为（2，2）. 另解：由平行四边形法则可得

3 BDBABC(2(1),13)(3(1),43)(3,1),

ODOBBD(1,3)(3,1)(2,2).例7 经过点M(2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A,B，且|AB|3|AM|，求点A,B的坐标. 解：由题设知，A,B,M三点共线，且|AB|3|AM|，设A(x,0),B(0,y)，

①点M在A,B之间，则有AB3AM， ∴(x,y)3(2x,3). 解之得：x3,y3， 点A,B的坐标分别为(3,0),(0,3). ②点M不在A,B之间，则有AB3AM，同理，可求得点A,B的坐标分别为(,0)，

32(0,9). 综上，点A,B的坐标分别为(3,0),(0,3)或(,0)，(0,9). 32MABAC例8. 已知三点A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若A落在第四象限. ，试求实数的取值范围，使M解：设点M(x,y)，由题设得(x2,y3)(3,)(5,7)(35,7)，

∴x33,y4， 要使M落在第四象限，则x330,y40，

解之得14. 例8 已知向量a(8,2),b(3,3),c(6,12),p(6,4)，问是否存在实数x,y,z同时满足两个条件：(1)pxaybzc;(2)xyz1？如果存在，求出x,y,z的值；如果不存在，请说明理由. 1x,28x3y6z6,1解：假设满足条件的实数x,y,z存在，则有2x3y12z4,解之得：y,

3xyz1.1z.6

4

∴满足条件的实数x课堂小结

111,y,z. 236（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 作业

见同步练习

拓展提升

1.设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（ ）

A. e1，e2 B. e1+e2，e2 C. e1，2e2 D.e1，e1+e2

2. 设e1,e2是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（ ）

A. e1+e2和e1-e2 B. 3e1-2e2和4e1-6e2

C. e1+2e2和2e1+e2 D. e1+e2和e2

3.已知e1,e2不共线，a =1e1+e2，b=4 e1+2e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是（ ）

A. 1=1， B. 1=2， C. 1=3， D. 1=4 4.设AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=3a-3b，那么下列各组的点中三点一定共线的是（ ）

A. A，B，C B. A，C，D C. A，B，D D. Ｂ，Ｃ，Ｄ

５．下列说法中，正确的是（

）

①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

③零向量不可作为基底中的向量. Ａ．①②

Ｂ．①③

Ｃ．②③

Ｄ①②③

６．已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（

）



5

①1e1+2e2（1，2为实数）可以表示该平面内所有向量；

②若有实数1，2使1e1+2e2＝0，则1＝2＝０. Ａ．①

Ｂ．②

Ｃ．①②

Ｄ．以上都不对

７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM＝（

）

11Ａ．（a－b）

Ｂ．

－（a－b）

2211Ｃ．－（a＋b）

Ｄ．（a＋b）

22８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，AB＝a，AE＝b，则BC＝（

）

11aＡ．（－b）

Ｂ．

－（a－b）

2211Ｃ．a＋b

Ｄ．（a＋b）

22９．如果３e1+４e2＝a，２e1+３e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝

，e2＝

. １０．已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，且AB＝２e1+ｋe2，CB＝e1+３e2，CD＝２e1－e2，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为

. １１．当ｋ为何值时，向量a＝４e1+２e2，b＝ｋe1＋e2共线，其中e1、e2是同一平面内两个不共线的向量.

１２．已知：e1、e2是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量a＝ｋe1+e2与b＝e1＋ｋe2共线？

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