探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学实录及点评

江维中学高一数学必修四教学案

时间：2018.4 编号：012-013主备：舒海燕 辅备：高一备课组 审核：杨芳

1.4.1正弦、余弦函数的图象（1）

教学目的：

知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出ysinx,xR的图象，明确图象的形状；（2）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；

能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；

（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神。

教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 教学难点：作余弦函数的图象，周期性； 教学设计：

复习导入：

正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有

sinyxMP，cosOM

rr向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．

提出问题：

问题1：如何用描点法画y＝sin x在[0,2π]上的图像？

问题2：如何较准确地画出y＝sin x在[0,2π]上的图像？

问题3：如果有了正弦函数在[0,2π]上的图像，怎样才能得到R上的图像？

探究新知：

1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

（1）函数y=sinx的图象

第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）. 第二步：在单位圆中画出对应于角0,6，，,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表”

）.32

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把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”

）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象. 把角x(xR)的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.

[提出问题]

问题1：根据诱导公式能得到某一角的正弦与余弦之间的等量关系吗？

πx＋＝cos x怎样才能得到y＝cos x的图像？

问题2：根据关系式sin2

根据诱导公式cosxsin(x2),还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移单位即得余2弦函数y=cosx的图象.

yy=sinx

1

o-4-33-6-5-45-22-1

yy=cosx

1--5-3345-42-6-2-1

正、余弦函数的简图

用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0) (6x6x3,1) (,0) (,-1) (2,0) 223,0) (,-1) (,0) (2,1) 22只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．

余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是(0,1) (

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优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以

用“五点法”作出下列函数的简图．

y＝sinx－1，x∈[0，2π]．

变式训练

画出函数y= cos2x，x[0, 2]的简图：

[例2]

利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的x的集合．

11(1)sin x≥；

(2)cos x≤. 22[解]

(1)作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，如图所示，由图像可以得到满足条件的xπ5π＋2kπ，＋2kπ，k∈Z. 的集合为66(2)作出余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像，如图所示，由图像可以得到满足条件的x的集π5π＋2kπ，＋2kπ，k∈Z. 合为33[活学活用]

13利用正弦曲线，求满足

的x的集合．

22

与正、余弦函数图像有关的零点问题

x[典例]

判断方程－cos x＝0的根的个数．

4[解]

设f(x)＝，g(x)＝cos x，在同一直角坐标系中画出4xf(x)与g(x)的图像，如图：由图可知，f(x)与g(x)的图像有三

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个交点，故方程－cos x＝0有三个根．

4[活学活用]

1．方程cos x＝lg x的实根的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．无数

解析：如图所示，作出函数y＝cos x和y＝lg x的图像．两曲线有3个交点，故方程有3个实根．

2．函数f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内(

) A．没有零点

B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两个零点

D．有无穷多个零点

解析：选

原函数f(x)＝x－cos x可理解为幂函数y＝x与余弦函数的差，如图，在同一坐标系中作出函数y1＝x与y2＝cos x，x∈[0，＋∞)的图像，易知y1与y2的图像只有一个交点，故f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内有且仅有一个零点．

x

1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是(

) π3πππ3πA．0，，π，，2π

B．0，，，，π

22424C．0，π，2π，3π，4π

πππ2π

D．0，，，，

63232．函数y＝－cos x的图像与余弦函数图像(

) A．关于x轴对称

B．关于原点对称

C．关于原点和x轴对称

D．关于原点和坐标轴对称

33．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与y＝的交点的个数是________．

24．函数y＝2cos x－2的定义域是________．

解析：要使函数有意义，只需2cos x－2≥0，即cos x≥由余弦函数图像知(如图)，

ππ－＋2kπ，＋2kπ，k∈Z. 所求定义域为445．用“五点法”作出函数y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图像．

解：列表：

x sin x 1＋2sin x 0

0

1

π

21

3

π

0

1

3π

2－1

－1

2π

0 1 2.2π3π，3，(π，1)，，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺

在直角坐标系中描出五点(0,1)，22次连接起来，就得到y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图像．

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