复习参考题第二课时教案

复习课：

第三章

简单的三角恒等变换

一、【教学目标】

重点：引导学生在已有的公式基础上，利用所有公式之间的内在联系，进行简单的三角恒等变换，体会三角变换的特点. 难点：认识三角变换的特点，从整体上把握变换过程的能力.

易错易混点：和（差）角公式，倍角公式的符号以及特殊角的三角函数值. 二、【知识梳理】

二倍角的正弦、

两

弦

余弦、正切公式

角

余

和

弦

公式的运用

与

正

差

切

注意角度的各种存在形式

的

公

正

式

利用三角函数求最值问题

给角求值

三角函数式的化简

给值求值

三角函数式的求值

给式求值

简恒

单等给值求角

的变

三

换三角函数式的证明

角

“化一”公式的应用

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；

两角和与差的正弦、

余弦、正切公式

tan()tantan. 1tantansin22sincos,cos2cos2sin22cos2112sin2,

2tanktan2.(,k,kZ)1tan24222.三角函数中常用的转化思想及方法技巧

（1）拆凑角：()；2()()；2()()；222；()()；

2222（2）

“1”的替换：1sincostan（3）切弦互化；

（4）公式变形

42cos2cos2等；

tantantan()(1tantan),cos21cos21cos2,sin2；

22（5）辅助角公式：

abasinxbcosxa2b2sinxcosx2

222ababa2b2(sinxcoscosxsin)a2b2sin(x) (其中辅助角所在象限由点(a,b)所在的象限决定,tan常用结论 : sinxcosxb ). a2sin(x4)

，sinxcosx2sin(x4) . 3.三角函数式化简的目标与方法: 化为单角或同角，函数名称少，次数尽量低，尽量不含分母和根号.

4.三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值——化非特殊角为特殊角，再用公式计算；

（2）“给值求值”：给出一些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值——变换角,找出已知角与所求角的联系；

（3）“给式求值”：给出的三角函数式的值，求其他式子的值——化简已知式或所求式，再求；

（4）“给值求角”：——先求角的某一三角函数值,结合角的范围求出角,要特别注意角的范围对三角函数值的影响，有时需要讨论. 5.证明及其基本方法: （1）化繁为简法； （2）左右归一法

； （3）变更命题法；

（4）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别与联系．

三、【范例导航】

题型一：

通过和差角公式以及倍角公式考察三角函数函数的求值问题。

例题1.若则的值为(

).

A.2

B.

C.

D. 答案：B. 解析：由得，

解得，∴. 点评：在三角恒等变换中和差倍角应用以及整体求值问题是常考题型，应该引起我们足够的重视。

题型二:通过已知角的重新组合（和或差）求三角函数值。

例题2．已知tan(＋)＝3，tan(－)＝5，则tan 2＝(

)．

A．－7 4

B．7

4

C．－4 7

D．4

7答案．C 解析：tan 2＝tan[(＋)＋(－)]＝4tan(＋)＋tan(－)＝－．

71－tan(＋)tan(－)变式1．若0＜＜A．1

2771＜＜，且cos ＝－，sin(＋)＝，则sin 的值是(

)．

923

B．5

27

1C．

3

D．23

27解析：由0＜＜得sin ＝371＜＜，知＜＋＜且cos ＝－，sin(＋)＝，

9223242221，cos(＋)＝－．∴

sin ＝sin[(＋)－]＝sin(＋)cos －cos(＋)sin ＝．

393点评：角的重新组合是在三角恒等变换中解决求三角函数值常用的技巧，应该掌握这种基本技能，从而在求三角函数值时得心用手。

题型三：切弦互化解决三角函数求值问题。

例题3：锐角三角形的内角A，B

满足tan A－A．sin 2A－cos B＝0

C．sin 2A－sin B＝0 解析：由tan A－

1＝tan B，则有(

)．

sin2AB．sin 2A＋cos B＝0 D．sin 2A＋sin B＝0 sin(A－B)111＝tan B，得＝tan A－tan B＝

2sinAcosAsin2Asin2AcosAcosBcos B＝2sin Asin(A－B)cos[(A－B)－A]＝2sin Asin(A－B)

cos(A－B)cos A－sin Asin(A－B)＝0，即cos(2A－B)＝0．

∵

△ABC是锐角三角形，∴

－∴

2A－B＝π＜2A－B＜π，

2sin 2A＝cos B，即sin 2A－cos B＝0．答案A 2

点评：切化弦是解决含有切函数和弦函数常用的技巧，也是首选的思路。

题型四：通过三角恒等变换化成一个角的一个三角函数形式或者通过二次函数解决求最值问题。

例题4：已知函数f(x)2cos2xsin2x4cosx

(1)求f(3)值的；

(2)求f(x)的最大值和最小值。

239sin24cos12解析:（1）f()2cos333344

(2)

f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)4cosx

273(cosx)2,xR,233

3cosx4cosx1

因为cosx[1,1],所以当cosx1时,fx取最大值6;当cosx27时,fx取最小值33

点评：在解决三角函数求周期、对称轴以及最值问题必须把三角函数式化成一个角的一个三角函数问题，或者借助二次函数求最值。

题型五：利用公式之间的内在联系，进行简单的三角式证明。

例5.证明：3cos44cos28sin. 证明：左边32cos214cos2

22cos24cos2

2242(1cos222cos2)2(cos21)22(2sin)8sin422

右边

所以等式成立. 1sin2cos2tan变式训练：证明：（1）1sin2cos2；

sin(2)sin2cos(). （2）sinsin

【分析】（1）从形式上看可以利用二倍角公式进行证明；

（2）从形式上看2()，因此通分之后利用和（差）角公式就可以证明. 【解答】证明：（1）

2sin22sincos原式左边2cos22sincos

sin(sincos) cos(sincos)

tan. 右边

所以等式成立. （2）

sin(2)2sincos()原式左边

sinsincos()cossin()2sincos()

sincossin()sincos()

sinsin()sin

sinsin右边

所以等式成立. 【点评】本小题主要考查角的变换、两角和与差的的正余弦公式、二倍角公式等基础知识，考查基本运算能力．

四、【解法小结】

1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通，熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征；

2.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. 五、【教后反思】

三角恒等变换这章最大的特点公式非常多，因此熟练掌握公式是解决这类问题的关键，所以本节课在一开始就列出了本章的知识脉络以及出现的公式，目的是让学生从宏观上把握这一章的内容；本节课所选择的例题具有一定的代表性，主要是让学生理解公式在恒等变换中的综合应用以及方法技巧的掌握，目的在于训练学生的运算能力、变通能力.