阅读与思考 三角学与天文学名师教学设计

1.2.1任意角的三角函数

一、教学目标：

1、知识目标 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；

（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；

（3）掌握并能初步运用公式一。

2、能力目标

通过本节课的学习培养学生如何利用代数方法解决几何问题，培养学习数型结合的思想、化归转化的思想。 3、情感、态度与价值观

数学源于生活，通过学习能将我们生活中的数学问题化、数学应用化，培养学生热爱

生活、热爱学习的好品质。

二、教学重点难点：

1、重点

任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）。

2、难点

任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。

三、教学过程：

(一)知识回顾：

在直角三角形中锐角A的三角函数定义？

【目的】回顾锐角三角函数的定义，引出问题1. BCa

sinA

ABc

bAC

cosAcAB

BCa

tanAACb（二）问题引领、探究新知：

根据锐角三角函数的定义，如果我们把锐角A

记作角我们把角放到直角坐标

系中，思考如下问题：

问题1:你能用直角坐标系中角的终边上的点表示锐角三角函数吗?

MPy

sinαOPr

OMx

cosOPr

MPy

tan

OMx

【目的】让学生用锐角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数。

BcaAbCy的终边P(x,y)ryOxMx

问题2:在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 比值不会改变，原因是因为相似比不变

问题3：我们使得OP的长度r=1,这样的比值有什么变化？你有什么感悟呢？

y

sinαysinα

r

x

cosxcosr=1 r

【目的】引出单位圆的定义，结合单位圆，使得锐角三角函数可以用角的终边与单位圆的交点坐标来表示。

问题4：锐角三角函数的概念能推广到任意角么? 类比的思想得到任意角三角函数的广义的定义。

类比问题3得到任意角三角函数的狭义的定义。

（三）典例分析、巩固新知：

tanyxtanyx5例1、求3的正弦、余弦和正切值. 【目的】学生展示，体现任意角的三角函数的定义的应用

例2、已知角的终边过点P0(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值. 【目的】学生展示，体现任意角的三角函数的广义定义的应用，对比两个定义的方法的选择。

（四）合作探究、研究新知：

探究1．研究三角函数的定义域

函 数

定 义 域

学生展示，体现定义的重要性

探究2．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

ysin

ycos

ytan

y对于第一、二象限为_____（y0,r0），对于第三、四象限为____ r （y0,r0）；

x②余弦值对于第一、四象限为____(x0,r0），对于第二、三象限为____ r （x0,r0）；

①正弦值

③正切值y对于第一、三象限为_______（x,y同号），对于第二、四象限为______ x （x,y异号）．

学生展示，体现定义的重要性

教师总结口诀：一全二正弦三切四余弦

sin0下列不等式组成立时，例3、求证：当角 为第三象限角.反之也对。

 tan0

【目的】三角函数的定义和符号的应用

问题5：如果角α与β的终边相同，那么sinα与sinβ有什么关系？ cosα与cosβ有什么关系？tanα与tanβ有什么关系？

探究：上述结论表明，终边相同的角的同名三角函数值相等，如何将这个性质用一组数学公式表达？

sin(2k)sin

cos(2k)cos

tanα2kπtanα

【目的】将角可以转化到（0,2π）内；体现周期性

例4、确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证

(1)cos50(2)sin()(3)tan(672)(4)tan3

4

【目的】公式一的应用

（五）课时小结：

一、知识：

（1）任意角的三角函数的定义；

（2）三角函数的定义域及三角函数值的符号；

（3）公式一. 二、思想：

数形结合的思想、特殊与一般思想、

分类讨论的思想、化归与转化思想. （六）作业：

1、课本P15练习题

2、完成如下表格--特殊角的三角函数值

3、预习三角函数线

公kZ四、教学反思：

这一节课把教学的基本要求定位在弄清任意角三角函数与锐角三角函数的区别，接受用坐标（或坐标的比值）表示三角函数就够了，但是需要注意，应该通过什么方式让学生建立起用坐标（或比值）表示任意角三角函数，以及领会建立这个概念过程中所蕴含的思想方法。