2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质课教案内容

平面向量的基本定理

永胜四中数学组

谭春香

2.3.1平面向量的基本定理

谭春香

教学分析

平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．

1．通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理．

2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．

重点难点

教学重点：平面向量基本定理

教学难点：平面向量基本定理的应用．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，那么a与e1、e2之间有什么关系呢？

思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过对多个向量进行分解或者合成，在黑板上给出图象进行演示和讲解．如果条件允许，用多媒体教学，通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？

推进新课

新知探究

提出问题

①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？

②如图1，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系．

图1

活动：如图1，在平面内任取一点O，作OA＝e1，OB＝e2，OC＝a.过点C作→→→平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，→＝λe，与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ、λ，使得OM1211→＝λe.由于OC→＝OM→＋ON→，所以a＝λe＋λe.也就是说，任一向量a都可以ON221122表示成λ1e1＋λ2e2的形式．

由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，

这为我们研究问题带来极大的方便．

一、平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 定理说明：(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不唯一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式唯一．

讨论结果：①可以．

②a＝λ1e1＋λ2e2. 二、平面向量的基本定理应用

→＝AP→－AO→＝1AB→＋OA→

解析：OP31→→→2→1→＝OB－OA＋OA＝OA＋OB

33321＝a＋b. 332→→→→→OQ＝AQ－AO＝AB＋OA

32→→→1→2→＝＋OA＝OA＋OB

3OB－OA3312＝a＋b. 332112答案：a＋b

a＋b

3333

2. 如图，平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、→＝a，→＝b，→BC的中点，已知AMAN试用a，b表示AB→. 和AD

→、→分析：可以根据“正难则反”的思想求解，即改为用ABAD→、AD→看做未知量，加以方程思想，来表示向量a、b，然后将AB→、AD→. 以求AB→＝AB→＋AD→. 解析：在平行四边形ABCD中，AC在△ADC中，M为DC的中点，

→＝1→→，

AM2AD＋AC1→→→∴a＝.①

2AD＋AB＋AD

在△ABC中，N为BC的中点，

→＝1→→，

AN2AB＋AC1→→→∴b＝.②

2AB＋AB＋AD→＝2(2b－a)，AD→＝2(2a－b). 由①②解得AB33

点评：本题若利用向量的加减法法则，结合M、N→和AD→，为DC、BC中点的性质，可直接用a、b表示AB但有一定的困难，解题过程繁琐．所以就可以根据“正难→、AD→来表示向量a、b，则反”的思想求解，即改为用AB→、→看做未知量，→、→，然后将ABAD加以方程思想，求得ABAD就容易多了．

三、作业

3.如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，→＝a，AB→＝b，试用a，E、F分别是DC、AB的中点，设AD→，BC→，EF→. b为基底表示DC

四、

课堂小结

1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理．

2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合、几何作图．