复习参考题教案和学案内容

第1讲

三角函数的图象与性质

高考定位：三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查. 一、真题感悟、考点整合

（一）真题感悟

1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移为(

)

A.x＝π个单位长度，则平移后图象的对称轴12kππkππkππkππ－(k∈Z) B.x＝＋(k∈Z) C.x＝－(k∈Z) D.x＝＋(k∈Z) 2626212212ππ12.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝sinx＋＋cosx－的最大值为(

) 365631

A. B.1 C. D.

555π3.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cosx＋，则下列结论错误的是(

) 3

A.f(x)的一个周期为－2π B.y＝f(x)的图象关于直线x＝C.f(x＋π)的一个零点为x＝ππ D.f(x)在，π单调递减

628π对称

35π11π4.(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f ＝2，f 88＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(

) 2π211π

A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝－

312312111π17π

C.ω＝，φ＝－ D.ω＝，φ＝

324324

（二）考点整合

1.常用三种函数的图象性质(下表中k∈Z)

函数

y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

递增

区间

递减

区间

奇偶性

对称

中心

对称轴

周期性

ππ2kπ－，2kπ＋

22π3π2kπ＋，2kπ＋

22奇函数

(kπ，0)

π2

[2kπ－π，2kπ]

ππkπ－，kπ＋

22

[2kπ，2kπ＋π]

偶函数

πkπ＋，0

2奇函数

kπ，0

2

π

x＝kπ＋

2π

x＝kπ

2π

2.三角函数的常用结论

(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π(k∈Z)求得. 2当φ＝kπ＋π(k∈Z)时为偶函数；2π

(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对2称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.

(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换

向左（φ＞0）或向右（φ＜0）

(1)y＝sin x―――――――――――――――→平移|φ―|个单位

纵坐标变为原来的A倍y＝sin(ωx＋φ)――――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0). 横坐标不变

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0) 二、热点聚焦、题型突破

热点一

三角函数的图象

命题角度1 三角函数的图象变换

π【例1－1】

某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<在某一个周期内2的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ

0

π

2π

35

π

3π

25π

6－5

2π

0 x Asin(ωx＋φ)

0

(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)5π，0，求θ的最小值。

图象的一个对称中心为12

探究提高：1.“五点法”作图。设z＝ωx＋φ，令z＝0，的y的值，描点、连线可得. 2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

π3π，π，，2π，求出x的值与相应22

命题角度2 由函数的图象特征求解析式

π【例1－2】 (1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则函数2f(x)的解析式为(

) πA.f(x)＝2sinx－ 6πC.f(x)＝2sin2x＋ 12πB.f(x)＝2sin2x－

3πD.f(x)＝2sin2x－

6π(2)(2017·济南调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，若2x1，x2∈－，，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(

) A.1 C.2 21 B. 2 D.3

2 π6π3探究提高：已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置. 热点二

三角函数的性质

命题角度1 三角函数性质

ππ－xx－－3. 【例2－1】 (2016·天津卷)已知函数f(x)＝4tan xsin

·cos23

(1)求f(x)的定义域与最小正周期；

ππ

(2)讨论f(x)在区间－，上的单调性. 44

探究提高：1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间. 命题角度2 三角函数性质的应用

ππ|φ|<【例2－2】 (2017·哈尔滨质检)把函数f(x)＝2sin(x＋2φ)的图象向左平移个单位22ππ长度之后，所得图象关于直线x＝对称，且f(0)

) 42π

A. 83πB. 8

πC.－ 8

3πD.－

8探究提高：此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证. 热点三

三角函数图象与性质的综合应用

【例3】 (2017·西安调研)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋23sin2ωx－3(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数f(x)的单调递增区间.

(2)将函数f(x)的图象向左平移π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，6若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值.

探究提高

1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2π2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.应特别注意y＝|Asin(ω|ω|πx＋φ)|的最小正周期为T＝. |ω|

三、归纳总结、思维升华

1.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的图象求解析式

(1)A＝ymax－ymin2，B＝ymax＋ymin2. 2π.

(2)由函数的周期T求ω，ω＝T

(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 2.运用整体换元法求解单调区间与对称性

类比y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解.

(1)令ωx＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，可求得对称轴方程；

2

(2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；

(3)将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号. 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的性质及应用的求解思路

第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(一角一函数)的形式；

第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题. 三、教学反思

本课教学是复习课，通过本节课的学习把学生学习三角函数各个零散的知识点进行系统梳理，形成知识网络。通过解决一些问题加深对所学知识的理解和运用，经过练习区别学生容易混淆的知识点。这样一边整理知识点，一边应用这些知识点解决实际问题，使学生在不知不觉中把三角函数的不同知识点有机的联系起来，形成完整的知识网络。

我们先对高考考情分析，三角函数的图像与性质的考试，以什么形式考，进行高考定位。接着进行了高考真题感悟。，发觉高考考查三角函数知识点都是一些基础题，然后进行知识点的整合。第二步我们让大家回忆三角函数图像与性质有哪些知识点，最基础的就是图像，从图像去找性质，性质变换后能得到哪些常用的结论。回味无穷。第三步从三角函数图像出发，让学生掌握五点作图法，进行有效变化和平移。平移后怎么去找三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式。常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置。三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数。求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间易错点。然后形成一个完整的知识体系。