阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质教学目标

向量中的三角形“四心”问题

知识提要

在三角形中有重心、垂心、外心、内心，这四心与向量之间有着密切的联系，四心都有向量的等价形式，它们之间可以自由转化。下面就是它们之间的等价形式的一些定理。

定理1：O是ABC的重心OAOBOC0; 1证明：若O是ABC的重心，则SSSSABC

BOCAOCAOB3故OAOBOC0;

PG1(PAPBPC)3G为ABC的重心. 定理2：O是ABC的垂心OAOBOBOCOCOA; 证明：若O是ABC(非直角三角形)的垂心，

则SBOC：SAOC：SAOBtanA：tanB：tanC

故tanAOAtanBOBtanCOC0

定理3：O是ABC的外心|OA||OB||OC|(或证明：若O是ABC的外心

则SBOC：SAOC：SAOBsinBOC：sinAOC：sinAOBsin2A:sin2B:sin2C

故sin2AOAsin2BOBsin2COC0

定理4：O是内心ABC的充要条件是

证明：OA(OAOBOC222) AB|AB|ACAC)OB(BA|BA|BC|BC|)OC(CA|CA|CB|CB|)0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e,e,e，则123刚才O是ABC内心的充要条件可以写成

OA(e1e3)OB(e1e2)OC(e2e3)0 O是ABC内心的充要条件也可以是aOAbOBcOC0

若O是ABC的内心，则SBOC：SAOC：SAOBa：b：c

故

aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0; |AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心; 向量(ABAC)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；

|AB||AC|方法技巧

1．

平面向量与三角形内心结合

例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上

不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABABACAC)，0,则P点的轨迹一定通过ABC的（ ）

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

解析：因为ABAB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2，

又OPOAAP，则原式可化为AP(e1e2)，由菱形的基本性质知AP平分BAC，那么在ABCBAC，则知选B. 点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先中，AP平分ABAB是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？

此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

2、平面向量与三角形垂心结合

例2． 求证：若H是△ABC所在平面内任一点，则HAHBHBHCHCHA点H是△ABC的垂心. 证明：由HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC, 同理HCAB，HABC.故H是△ABC的垂心. 反之亦然

3、平面向量与三角形重心结合

例3． G是△ABC所在平面内一点，GAGBGC=0点G是△ABC的重心. 证明：作图如右，图中GBGCGE

连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线. 将GBGCGE代入GAGBGC=0，

得GAEG=0GAGE2GD，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））

4、平面向量与三角形外心结合

例4.若O

为ABC内一点，OAOBOC，则O

是ABC

的（

）

A．内心

B．外心

C．垂心

D．重心

解：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O

是ABC

的外心

，选B。

点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。

5、平面向量与三角形四心结合

例5．已知向量OP，+2+OP3=0，|OP|=|OP2|=|OP3|=1，

OP2，OP3满足条件OP11OP1求证 △P1P2P3是正三角形. 证明： 由已知OP+2=-OP3，两边平方得OP·OP2=1，

1OP121 同理

OP2·OP3=OP3·OP=，

12 ∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3，从而△P1P2P3是正三角形. 反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有OP+OP2+OP3=0且1|OP|=|OP2|=|OP3|.即O是△ABC所在平面内一点，

1+2+OP3=0且|OP|=|OP2|=|OP3|点O是正△P1P2P3的中心. OP1OP1例6．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：

x1xx2y2xy,0)、E(1,)、F(2,2)

22222y x由题设可设Q（1,y3)、H(x2,y4), 2xx2y2G(1,)

33xxyAH(x2,y4)，QF(21,2y3)

222D（C(x2,y2) F G Q D H E BC(x2x1,y2)

x B(x1,0) A

AHBCAHBCx2(x2x1)y2y40

y4x2(x2x1)y2QFACx2x1y)y2(2y3)0

222x(xx1)y2y3222y22QFACx2(QH(x2x12xx13x2(x2x1)y2,y4y3)（2,)

222y22QG( (x2x1x1y22xx1y2x2(x2x1)y2,y3)（2,)323632y222x2x13x2(x2x1)y212xx13x2(x2x1)y2,)(2,)

66y26322y221 =QH3即QH=3QG，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2 点评：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。

例7．若O、H分别是△ABC的外心和垂心. 求证 OHOAOBOC.

证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图. 连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD. ∴ADAB，CDBC.又垂心为H，AHBC，CHAB，

∴AH∥CD，CH∥AD，

∴四边形AHCD为平行四边形，

∴AHDCDOOC，故OHOAAHOAOBOC. 点评：著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：

（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.

学以致用

→→→→1ABACABAC→→→1.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且

· = , 则△ABC为( ) →→→→|AB||AC||AB||AC|2A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

12． 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证：OGOH

3