2.1.2 向量的几何表示教案1

2. 1. 2向量的几何表示

教材分析

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。

向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量。

教学目标

知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 过程与方法：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 情感态度与价值观：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重难点

重点：理解并掌握零向量、单位向量的概念，会表示向量. 难点：零向量. 教具

多媒体或实物投影仪，尺规

课型

新授课

教学过程

一、复习回顾

1、向量

2、向量与数量

二、新课学习：

（一）数量如何表示？

（二）向量如何表示

1、数量与向量有何区别？

2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

[来源学。科。网]

6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

（三）探究学习

1、数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ

（黑体，印刷用）等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB；

④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.

3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0.

0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. （四）理解和巩固：

1、判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

（4）零向量有没有方向？（没有）

（5）向量的模是一个正实数吗？（不一定）

a A(起点)

B （终点）

（6）若|a|>|b| ，则a > b（错误）

2、判断下列向量是否为平行向量

3、判断对与错

（1）若非零向量AB//CD,则AB//CD（对）

（2）若a//b,b//c,则a//c（错）

三、小结

：

1、向量的集合表示

2、向量的三要素：起点、大小、方向

3、特殊向量

四、课后作业：

书本88页习题2.1第3、5题

2.1平面向量的实际背景及基本概念

课前预习学案

一、预习目标

通过阅读教材初步了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

二、预习内容

（一）、情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

（二）、新课预习：

1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

2、请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）

1)

数量与向量有何区别？

2)

如何表示向量？

3)

有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

4)

长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

5)

满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

6)

有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7)

如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各

向量的终点之间有什么关系？

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

[来源学_科_网]C A B D 疑惑内容

[来源:Zxxk.Com]

课内探究学案

一、学习目标

1、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 二、学习过程

1、数量与向量的区别？

- 2.向量的表示方法？

①

②[来源:学|科|网Z|X|X|K]a

A(起点)

B （终点）

③

④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作

。

3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：

。

向量与有向线段的区别：

（1）

。

（2）

。

4、零向量、单位向量概念：

①

叫零向量，记作0.

0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②

叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5、平行向量定义：

①

叫平行向量；②我们规定0与

平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义：

叫相等向量。

说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关. ．．．．．．．．7、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为

（与有向线段的起点无．．．．．．．．．关）. ．．说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 三、理解和巩固：

例1 书本86页例1. 例2判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？

（2）不相等的向量是否一定不平行？

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？

（7）共线向量一定在同一直线上吗？

例3下列命题正确的是（

）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

的四顶点

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

例4

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量. 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？

变式三：与向量共线的向量有哪些？

课堂练习：

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 2．书本88页练习

课后练习与提高

1．下列各量中不是向量的是（ ）

A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度

2.下列说法中错误的是（ ）

．．A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的

3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）

A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点

D.一个单位圆

4．已知非零向量a//b,若非零向量c//a，则c与b必定 . 5．已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定

. 6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,则|KL|_______,KL________