2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示第一课时教学实录

平面向量数量积（教案）

教学目标：1．理解平面向量数量积的概念、物理意义、几何意义．

2．掌握平面向量数量积的坐标表达及其运算。

3．能用数量积求平面向量的夹角、模．

4．能利用数量积判断两向量的垂直关系．

5．能利用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

教学重点：平面向量数量积的概念、坐标表达及其运算

教学难点：平面向量数量积物理意义、几何意义的理解

教学工具:

多媒体一体机

教学过程：

【基础知识梳理】

1．两个向量的夹角

→→已知两个非零向量a和b(如图)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b ；当θ＝180°时，a与b ；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作 . 2. 平面向量的数量积的定义

ab___________________．零向量与任一向量的数量积为_______．

3.数量积的几何意义：______________________________________________________ 4.性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，ab________；当a与b反向时，ab_________；

特别的aa_______________或aaa．③ab_______ab。

5. 设ax1,y1，bx2,y2，则a//b____________;

ab__________________________。

6. 平面内两点间的距离公式：AB__________________。

【双基自测】

1．(人教A版教材习题改编)已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为(

)．

ππ2π3πA.3

B.4

C.3

D.4

2．(2011·广东)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(

)．

A．4

B．3

C．2

D．0 3．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于(

)．

A．9

B．4

C．0

D．－4

4．(2011·江西)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．

5．(人教A版教材习题改编)某人先位移向量a：

“向东走3 km”，接着再位移向量b：“向北

走3 km”，则a＋b表示(

)．

A．向东南走32 km

C．向东南走33 km

B．向东北走32 km D．向东北走33 km 6．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值，最小值分别是(

)．

A．4,0

C．2,0

【经典例题探究】

B．16,0 D．16,4 →→→→→→【例1】►在△ABC中，M是BC的中点，|AM|＝1，AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)＝________. →→→[审题视点] 由M是BC的中点，得PB＋PC＝2PM.

当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识．

【例2】►已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ；

(2)求|a＋b|和|a－b|. [审题视点] 由平面向量数量积的运算法则得a·b的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角．

【例3】►已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．

(1)若a⊥b，求x的值；

(2)若a∥b，求|a－b|. [审题视点] 利用a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0及a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，求解．

已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．

→→【例4】►(2010·辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设OA＝a，OB＝b，则△OAB的面积等于(

)．

A.|a|2|b|2－1C.|a|2|b|2－2a·ba·b2

2

B.|a|2|b|2＋1D.|a|2|b|2＋2a·ba·b2

2

1[审题视点] 由数量积公式求出OA与OB夹角的余弦，进而得正弦，再由公式S＝absin θ，2求面积．

平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用|a|可以求线a·b段的长度，利用cos θ＝(θ为a与b的夹角)可以求角，利用a·b＝0可以证明垂直，利用|a||b|a＝λb(b≠0)可以判定平行．

π3π【例5】►已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈2，2. →→→→(1)若|AC|＝|BC|，求角α的值；

2sin2α＋sin 2α(2)若AC·BC＝－1，求的值

1＋tan α

解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．

【强化巩固训练】

1.

已知a3,b23,ab3，则a,b的夹角为______________________。

2.

已知a3,b4,akbakb，则k等于___________. 3.

已知a2,b5,ab3，则ab=___________________ 。

4.

在ΔABC中，若CACBCACB0,则ΔABC的形状是___________________。

5.

已知a8，当它们之间的夹角为e是单位向量，时，a在e方向上的投影为_______。

36.

（1）已知a4，b3，2a3b2ab61，求a,b的夹角。

（1）

设OA2,5,OB3,1,OC6,3,在OC上是否存在点M，使MAMB？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。

