2.1.2 系统抽样教学设计案例

第二章

2.1

2.1.3 基础巩固

一、选择题

1．分层抽样适合的总体是(

) A．总体容量较多

C．总体中个体有差异

[答案]

C 2．某学院有四个饲养房，分别养有18、54、24、48只白鼠供试验用，某项试验需抽取24只白鼠，你认为最合适的抽样方法为(

) A．在每个饲养房中各抽取6只

B．把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈，用随机抽样的方法确定24只

C．在四个饲养房分别随手抽取3、9、4、8只

D．先确定在这四个饲养房应分别抽取3、9、4、8只，再由各饲养房自己加号码颈圈，用简单随机抽样法确定各自要抽取的对象

[答案]

D [解析]

依据公平性原则，根据实际情况确定适当的取样方法是本题的灵魂．A中对四个饲养房平均摊派，但由于各饲养房所养数量不一，反而造成了各个个体被入选几率的不均衡，是错误的方法；B中保证了各个个体被入选几率的相等，但由于没有注意到在四个不同环境中会产生不同差异，不如采取分层抽样可靠性高，且统一编号统一选择加大了工作量；C中总体采用了分层抽样，但在每个层次中没有考虑到个体的差异(如健壮程度，灵活程度)，貌似随机，实则各个个体被抽取到的几率不等，故选D. 3．(2010·重庆高考)某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为(

) A．7 C．25 [答案]

B [解析]

由题意知，青年职工人数中年职工人数老年职工人数＝＝B．15 D．35 B．样本容量较多

D．任何总体

由样本中的青年职工为7人，得样本容量为15. 4．(2015·北京师大附中月考)某橘子园有平地和山地共120亩，现在要估计平均亩产量，按一定的比例用分层抽样的方法共抽取10亩进行调查，如果所抽山地的亩数是平地亩数的2倍多1，则这个橘子园的平地与山地的亩数分别为(

) A．45,75 B．40,80

C．36,84 [答案]

C D．30,90 [解析]

本题考查分层抽样方法．根据条件知所抽山地的亩数为7，所抽平地的亩数为3，则橘子园中山地的亩数为84，平地的亩数为36，故选C. 5．问题：①有1 000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．

方法：Ⅰ.简单随机抽样；Ⅱ.系统抽样；Ⅲ.分层抽样．其中问题与方法能配对的是(

) A．①Ⅰ，②Ⅱ

C．①Ⅱ，②Ⅲ

[答案]

B [解析]

对于①，由于箱子颜色差异较为明显，可采用分层抽样法抽取样本；对于②，由于总体容量、样本容量都较小，宜采用简单随机抽样．

6．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、肉食品类、果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(

) A．4 C．6

[答案]

C [解析]

四类食品的比例为1，则抽取的植物油类的数量为20×＝2，抽取10B．5 D. 7 B．①Ⅲ，②Ⅰ

D．①Ⅲ，②Ⅱ

2的果蔬类的数量为20×＝4，二者之和为6，故选C. 10二、填空题

7．防疫站对学生进行身体健康调查．红星中学共有学生1 600名，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是________．

[答案]

760 200111[解析]

设该校的女生人数是x，则男生人数是1 600－x，抽样比是＝，则x＝(1 1 600888600－x)－10，解得x＝760. 8．某地有居民100000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．

[答案]

5.7% 5070[解析]

该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有99 000×＋1 000×＝5 990100700户，所以所占比例的合理估计是5 700÷100 000＝5.7%. 三、解答题

9．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．

[探究]

采用分层抽样的方法．

[解析]

因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而应采用分层抽样的方法．具体过程如下：

(1)将3万人分成5层，一个乡镇为一层．

(2)按照各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇的样本：

32300×＝60(人)，300×＝40(人)，

151552300×＝100(人)，300×＝40(人)，

15153300×＝60(人)．

15各乡镇分别用分层抽样抽取的人数分别为60,40,100,40,60. (3)将抽取的这300人组到一起，即得到一个样本．

10．为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人) 高校

A B C (1)求x，y；

(2)若从高校B相关的人中选2人作专题发言，应采用什么抽样法，请写出合理的抽样过程．

[解析]

(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有：36y＝18，＝⇒y＝2，故x＝18，y＝2. 543(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：

第一步，将36人随机的编号，号码为1,2,3，…，36；

第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；

x1＝⇒x543相关人数

x 36

54

抽取人数

1 y

3

第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次抽取2个号码，并记录上面的编号；

第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．

能力提升

一、选择题

1．(2015·石家庄高一检测)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有10个特大型销售点，要从中抽取7个销售点调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次为(

) A．分层抽样法，系统抽样法

B．分层抽样法，简单随机抽样法

C．系统抽样法，分层抽样法

D．简单随机抽样法，分层抽样法

[答案]

B [解析]

由调查①可知个体差异明显，故宜用分层抽样；调查②中个体较少，故宜用简单随机抽样．

2．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表所示：

女生

男生

一年级

373

377

二年级

380

370

三年级

y

z

现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为(

) A．24 C．16 [答案]

C [解析]

一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋270＝750，于是三年级的学生人数为2000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×16. 3．(2015·河北衡水中学高一调研)某初级中学有270人，其中七年级108人，八、九年级各81人．现在要抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，将学生按年级从低到高的顺序依次统一编号为1,2，…，270.如果抽得的号码有下列四种情况：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；

64＝2000B．18 D．12

②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；

③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；

④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 则下列结论正确的是(

) A．②③都不可能为系统抽样

B．②④都不可能为分层抽样

C．①④都可能为系统抽样

D．①③都能为分层抽样

[答案]

D [解析]

因为一、二、三年级的人数之比为＝，又因为共抽取10人，根据系统抽样和分层抽样的特点可知，①②③都可能为分层抽样，②④不可能为系统抽样，①③可能为系统抽样，故选D. 4．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．

①采用随机抽样法，将零件编号为00,01，…，99，抽签取出20个；

②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；

③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个．从三级品中随机抽取10个，对于上述抽样方式，下面说法正确的是(

) 1A．不论哪一种抽样方法，这100个零件中每一个个体被抽到的概率都是

51B．①②两种抽样方法中，这100个零件每一个个体被抽到的概率为.③并非如此

51C．①③两种抽样方法中，这100个零件中每一个个体被抽到的概率为，②并非如此

5D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个个体被抽到的概率是不同的

[答案]

A [解析]

虽然三抽样方式、方法不同，但最终每个个体被抽取的机会是均等的，这正说明了三种抽样方法的科学性和可行性．

二、填空题

5．(09·广东文)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．

[答案]

37

20 [解析]

由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第8组抽出的号码为22＋(8－5)×5＝37. 4040岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为×100＝20人．

2006．一工厂生产了某种产品16 800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数分别是a，b，c，且2b＝a＋c，则乙生产线生产了________件产品．

[答案]

5600 [解析]

设甲、乙、丙3条生产线各生产了T甲、T乙、T丙件产品，则abc＝T甲T乙T丙，即abc＝＝＝k.又因为2b＝a＋c，

T甲T乙T丙T甲＋T丙＝2T乙，16800所以，所以T乙＝＝5600. 3T＋T＋T＝16800乙丙甲

三、解答题

7．某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：

人数

老年

中年

青年

小计

管理

40

80

40

160

技术开发

40

120

160

320

营销

40

160

280

480

生产

80

240

720

1040

小计

200

600 1200 2000 (1)若要抽取40人调查身体情况，则应该怎样抽样？

(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？

(3)若要抽20人调查对巴西世界杯筹备情况的了解，则应怎样抽样？

[解析]

(1)因为身体状况主要与年龄段有关，所以应按老年、中年、青年分层，采用分层抽样法进行抽样，要抽取40人，应在老年、中年、青年职工中分别抽取4,12,24人．

(2)因为出席这样的座谈会的人员应该代表各个部门，所以应按部门分层，采用分层抽样的方法进行抽样，要抽取25人，应在管理、技术开发、营销、生产各部门的职工中分别随机抽取2,4,6,13人．

(3)对巴西世界杯筹备情况的了解与年龄、部门关系不大，可以用系统抽样或简单随机

抽样进行．

8．为了考察某校的教学水平，将对这个学校高三年级的部分学生的本学年考试成绩进行考察，为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查：(已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同) (1)从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；

(2)每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；

(3)把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察．(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)

根据上面的叙述，试回答下列问题．

(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？

(2)上面三种抽取方式中各自采用何种抽取样本的方法？

(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．

[探究]

本题目主要考查数理统计中一些基本的概念和基本方法．做这种题目时，应该注意叙述的完整和条理．

[解析]

(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100. (2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．

(3)第一种方式抽样的步骤如下：

第一步，首先在这20个班中用抽签法任意抽取一个班．

第二步，然后从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩．

第二种方式抽样的步骤如下：

第一步，首先在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为a. 第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计19人．

第三种方式抽样的步骤如下：

第一步，分层．

因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次．

第二步，确定各个层次抽取的人数．

因为样本容量与总体的个体数比为150600250依次为，，，即15,60,25. 101010第三步，按层次分别抽取：

在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；

在良好生中用系统抽样法抽取60人；

在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．

000＝1，所以在每个层次抽取的个体数