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勾股定理知识体系

一、勾股定理：（形转化为数）

知识回顾：.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

探究点1：已知直角三角中两条边求第三条边

例题： 1.在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=3，b=4，那么斜边c的长为____. 学生黑板展示：

2.．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是 _____ A.

5cm

B.cm

C.5cm或学生黑板展示：

师生归纳：在直角三角形中，直接利用勾股定理或者利用公式的变形c²=a²+b²

a²=c²-b²

b²=c²-a²去计算。如果没有搞清楚直角边和斜边的时候，要分类讨论。（1）这两条都是直角边.（2）因为直角三角形的斜边大于该直角三角形状的每一条直角边，所以4也可能是斜边。

变式题（方程思想）

3、在直角三角形ABC中,∠C=90°，

（１）已知ａ：ｂ＝３：４，ｃ＝２５，求ａ和ｂ

（２）已知∠Ａ＝３０°ａ＝３，求ｂ和ｃ

（３）已知∠Ａ＝４５°，ｃ＝８，求ａ和ｂ

cm

学生黑板展示：

探究点2：勾股定理与无理数

例题：在数轴上表示-√10的点

探究点3、由勾股定理演变的几个重要结论：

由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。即分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？可得S1=S2+S3

类比：（1）．分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1、S2、S3．

（2）分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S33表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明．

（3）分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等腰直角三角形，其面积分别用S1、S2、S3，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明．

选择其中之一画图并证明：

二、勾股定理的逆定理（数转化为形）

逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

例题1：已知三角形的三边长为

9 ,12 ,15 ,则这个三角形的最大角是——度

例题2、△ABC的三边长为

9 ,40 ,41 ,则△ABC的面积为——

例题3：下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）

A.9，12，15 B. 4, 3， C. 0.2，0.3，0.4 D. 40，41，9 说明：1、（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；

（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+c2=b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：

（1）确定最大边；

（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；

（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。

例题4、、已知a、b、c是△ABC的三边，且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c试判断三角形的形状．

学生黑板展示：

归纳：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2=c2，•那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.

三、记住几组勾股数

能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数. 1、常见勾股数：

3,4,5 （6,8,10

9,12,15

12,16，20）

5,12,13（10,24,26）

7,24,25 9,40,41 11,60,61 2、勾股数规律：

（1）一组勾股数中各数的相同整数倍得到的数也是一组勾股数。如上面3，4，5是一组勾股数。那么3k,4k,5k(k是正整数）也是一组勾股数。

一般的，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck(k是正整数）也是一组勾股数。

（2）如果一个三角形的三边长为a,b,c。且a=n2 -1,

b=2n,

c=n2+1，这个三角形就是直角三角形。

四、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理; 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

五、互逆命题与互逆定理

1．已知命题：全等三角形的面积相等，则其逆命题是(

) A．不全等三角形的面积不相等 B．面积不相等的两个三角形不全等

C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积相等

2．下列命题的逆命题是真命题的是(

) A．对顶角相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2

C．四边形是多边形 D．两直线平行，同旁内角互补

3．下列命题的逆命题不正确的是(

) A．若a＋b>0，则a>0，b>0 B．两直线平行，内错角相等

C．直角三角形的两个锐角互余

D．对顶角相等

4．写出下列命题的逆命题，这些逆命题都成立吗？

(1)两直线平行，同位角相等；

(2)如果实数a＝b，那么|a|＝|b|；

(3)两个锐角的和是钝角；

(4)直角都相等．

5．下列定理中，有逆定理的是(

) A．相反数的绝对值相等 B．两个全等三角形的对应角相等

C．直角三角形的两个锐角互余 D．末位数是2的整数被2整除

6．下列定理中，逆定理不存在的是(

) A．等边三角形的三个内角都等于60°

B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等

C．同位角相等，两直线平行

D．同角的余角相等