复习参考题教案（名师）

2.2.2

用样本的数字特征估计总体的数字特征(一)教学设计

【学习目标】

1．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征，并做出合理的解释；

2.会求样本的众数、中位数、平均数，并能从频率分布直方图中，求得众数、中位数、平均数．

【学法指导】

通过对实际问题有关数据的众数、中位数、平均数的统计，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法,通过解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能够辩证地理解数学知识与现实世界的联系. 【重点与难点】

重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。

难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。

教学过程：

一、设计问题,创设情境

2.2.1用样本的频率分布估计总体分布

一、知识探究（一）：频率分布表

问题：

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费. 分组

频数累记

频数

频率

通过抽样调查，获得100位居民某年的月均用水量如下表（单位：t）：

3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6

3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4

3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8

3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1

3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3

3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0

2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3

2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4

2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4

合计

2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2

【设计意图】：通过实例让学生理解如何解决这类问题。

思考1：上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明样本数据的变化范围是什么？

思考2：样本数据中的最大值和最小值的差称为极差.如果将上述100个数据按组距为0.5进行分组，那么这些数据共分为多少组？

思考3：以组距为0.5进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？

思考4：如何统计上述100个数据在各组中的频数？如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些数据用表格反映出来吗？

思考5：上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测该市全体居民月均用水量分布的大致情况，给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据，这里体现了一种什么统计思想？

思考6：如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超过标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水量标准（即a的取值）有何建议？

【设计意图】：通过师生共同探究新知，加深对知识的理解。

思考7：在实际中，取a＝3t一定能保证85%以上的居民用水不超标吗？哪些环节可能会导致结论出现偏差？

思考8：对样本数据进行分组，其组数是由哪些因素确定的？

思考9：对样本数据进行分组，组距的确定没有固定的标准，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多.按统计原理，若样本的容量为n，分组数一般在（1＋3.3×lgn）附近选取.当样本容量不

超过100时，按照数据的多少，常分成5～12组.若以0.3或1.5为组距对上述100个样本数据分组合适吗？

思考10：一般地，列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行？

知识探究（二）：频率分布直方图

思考1：为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息用下面的图形表示：

频率

组距0.50

0.44

0.30

0.28

0.20 0.16 0.12 0.08 0.04 0

【设计意图】：通过师生共同探究新知，加深对知识的理解。

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

思考2：频率分布直方图中各小长方形的面积表示什么？各小长方形的面积之和为多少？

思考3：频率分布直方图有哪些优点和缺点？你能根据上述频率分布直方图指出居民月均用水量的一些数据特点吗？

优点：频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况，使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的数据模式，缺点:但原始数据不能在图中表示出来.

思考4：样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的，一般地，频率分布直方图的作图步骤如何？

思考5：对一组给定的样本数据，频率分布直方图的外观形状与哪些因素有关？在居民月均用水量样本中，你能以1为组距画频率分布直方图吗？

频率

组距0.40 0.38 0.35 0.32 0.29 0.26 0.23 0.20 0.17 0.14 0.11 0.08 0.05 0.02 0 1 2 3 4 5 月均用水量/t 思考6：上例中的样本容量为100，如果增至1000，其频率分布直方图的情况会有什么变化？假如增至10000呢？当样本容量无限增大，组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线

频率分布直方图有哪些优点和缺点？

优点：频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况，使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的数据模式

但原始数据不能在图中表示出来.

二、例题讲解：

例1：测得纤维产品纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：

（1）补全频率分布表和频率分布直方图；

（2）估计纤度落在[1.38,1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少；

分组

频数

频率

0.25

0.30

0.29

0.02

1

[1.30，1.34) 4

[1.34，1.38) 25

[1.38，1.42) 30

[1.42，1.46)

[1.46，1.50)

[1.50，1.54] 2

合计

100

频率

组距

7.50 7.00 6.50 6.00 5.50 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0 1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54 纤度

【设计意图】：解决问题，加深理解。

课后思考：（3）单纯从频率分布直方图你能估计出纤度的众数，中位数及平均数？

问题：众数、中位数、平均数

〖探究〗：P62

（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？

（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）

初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。

〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25

这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）

分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。

〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？

分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为2.02。（图略见课本63页图2.2-6）

〖思考〗：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）

（课本63页图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。

感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）

【设计意图】：通过师生共同探究新知，加深对知识的理解。

三、变式训练,深化提高

某地区为了解知识分子的年龄结构，随机抽样n名，其年龄分别如下：

（1）完成样本频率分布表（如下表,组已分好）；

（2）画出频率分布直方图；

（3）估计年龄在32~52岁的知识分子所占的比例约是多少？

频率

组距分组

频数

频率

0.06

0.04

0.16

0.16

0.10

0.06

[27，32) 3

[32，37) 2

[37，42) 8

[42，47)

[47，52) 8

[52，57)

[57，62) 5

[62，67] 3

合计

0.064 0.060 0.056 0.052 0.048 0.044 0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 0 27 32 37 42 47 52 57 62

【设计意图】加深学生对知识的理解。

【设计意图】：通过调板检查学生的接受情况，及时查漏补缺。

四、布置作业

1、课本P82习题2.2

A组第5题.

2、由频率分布直方图算众数、平均数、中位数

问题：下图是某校学生的睡眠时间抽样的频率分布直方图(单位：h)

频率

组距0.74 0.66 0.34 0.12 0.10 0.04 0 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 睡眠时间

/h

（1）试估计该校学生日睡眠时间的众数；

（2）试估计该校学生的日平均睡眠时间；

（3）试估计该校学生日睡眠时间的中位数。

【设计意图】：通过调板检查学生的接受情况，及时查漏补缺。

五、反思小结,观点提炼

【设计意图】：1.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(平均数),会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.

2.平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平.

3.形成对数据处理过程进行初步评价的意识.

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