3.1.2 概率的意义名师教学实录

3．1．2

概率的意义

1．通过实例进一步理解概率的意义．(重点) 2．能用概率的意义解释生活中的事例．(难点) 3．了解概率在其他领域中的统计规律．

[基础·初探] 教材整理1

概率的正确理解

阅读教材P113～P114“思考”以上的部分，完成下列问题．

随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．

教材整理2

五个案例

阅读教材P115～P118的内容，完成下列问题．

1．游戏的公平性

(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均为0．5，所以这个规则是公平的．

(2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是

公平的这一重要原则．

2．决定中的概率思想

如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．

3．天气预报的概率解释

天气预报的“降水”是一个随机事件，“降水概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的概率为90%，在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率是90%”的天气预报是错误的．

4．试验与发现

概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔利用豌豆所做的试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律．

5．遗传机理中的统计规律

孟德尔在自己长达七、八年的试验中，观察到了遗传规律，这种规律是一种统计规律．

以豌豆为例说明孟德尔发现的杂交规律，假设纯黄为显性，记为YY，纯绿为隐性，记为yy：

11第二代中YY，yy出现的概率都是4，Yy出现的概率为2，所以黄色豌豆(YY，Yy)∶绿色豌豆(yy)≈3∶1．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件．(

) (2)某医院治愈某种病的概率为0．8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈．(

) (3)平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加．(

) 【答案】

(1)×

(2)×

(3)√

2．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是(

) A．若他投100次，一定有50次投中

B．若他投一次，一定投中

C．他投一次投中的可能性大小为50% D．以上说法均错

【解析】

概率是指一件事情发生的可能性大小．

【答案】

C 3．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频

率f(n)，则随着n的逐渐增加，有(

) A．f(n)与某个常数相等

B．f(n)与某个常数的差逐渐减小

C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小

D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定

【解析】

随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．

【答案】

D 334．事件A发生的概率是5，则5表示的________．

3【解析】

根据概率的含义知5表示的是事件A发生的可能性大小．

【答案】

事件A发生的可能性的大小

[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

概率含义的正确理解

(1)下列说法正确的是(

) A．由生物学知道生男生女的概率约为0．5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女

B．一次摸奖活动中，中奖概率为0．2，则摸5张票，一定有一张中奖

C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大

D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0．1 (2)有以下一些说法：

①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；

②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；

③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的3概率为10；

④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次

品．

其中错误说法的序号是________．

【精彩点拨】

结合概率的定义，正确理解概率的含义，概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，而不是必然发生或必然不发生．

【尝试解答】

(1)一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0．2是说中奖的可能性为0．2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0．1，所以C不正确；D正确．

(2)①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错；

②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故错误；

31③中正面朝上的频率为10，概率仍为2，故③错误；

④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件……次品，故④的说法正确．

【答案】

(1)D

(2)①②③

1．概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值

．

2．由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与

否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．

3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．

[再练一题] 1．某工厂生产的产品合格率是99．99%，这说明(

)

【导学号：28750050】

A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件

B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件

C．合格率是99．99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品

D．该厂生产的产品合格的可能性是99．99% 【解析】

合格率是99．99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．

【答案】

D

决策中的概率思想

设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪一个箱子中取出的．

【精彩点拨】

应用统计中的极大似然法作出判断．

【尝试解答】

甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一99球，得白球的可能性是100；乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任1取一球，得到白球的可能性是100，由此看出，这一白球从甲箱中抽取的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．由极大似然法知，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中抽出的．所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中抽出的．

在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大，这正是能够利用极大似然法来进行科学决策的理论依据．因此，在分析、解决有关实际问题时，要善于灵活地运用极大似然法这一思想方法来进行科学地决策．

[再练一题] 2．同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况(

) A．这100个铜板两面是一样的

B．这100个铜板两面是不同的

C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的

D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的

【解析】

落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法

可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．

【答案】

A

概率的应用

为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．

【精彩点拨】

按有记号的鱼所占的比例进行求解．

【尝试解答】

设水库中鱼的尾数是n，现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件A＝2 000{带记号的鱼}，则P(A)＝n．

第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件402 00040A发生的频数为40，由概率的统计定义知P(A)≈500，即n≈500，解得n≈25 000．

所以估计水库中的鱼有25 000尾．

1．由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．

2．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．

[再练一题] 3．某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况，在校门口按系统抽样的方法：每2分钟随机抽取一名学生，登记佩带胸卡的学生的名字．结果，150名学生中有60名佩带胸卡．第二次检查，调查了初中部的所有学生，有500名学生佩带胸卡．据此估计该中学初中部一共有多少名学生．

60500【解】

设初中部有n名学生，依题意得150＝n，解得n＝1 250．

所以该中学初中部共有学生大约1 250名．

[探究共研型]

概率的意义

探究1

如何理解概率意义上的“可能性”？

【提示】

(1)概率意义上的“可能性”是大量随机现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次试验结果的不肯定性与多次试验累积结果的有规律性，才是概率意义上的“可能性”．

(2)概率是根据大量的随机试验得到的一个相应的期望值，它说明一个事件发生的可能性的大小，并未说明一个事件一定发生或一定不发生．

探究2

如何用概率知识解释天气预报中的“降水”？

【提示】

天气预报中的“降水”是一个随机事件，概率只是说明这个随机事件发生的可能性的大小，概率值越大，说明在一次试验中事件发生的可能性越大，但在一次试验中，“降水”这个事件是否发生还是随机的．

探究3

我们知道，每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0．5，则连续抛掷质地均匀的硬币两次，是否一定出现“一次正面向上，一次反面向上”呢？

【提示】

不一定．这是因为统计规律不同于确定的数学规律，对于具体的一次试验而言，它带有很大的随机性(即偶然性)，通过具体试验可以知道除上述结果外，也可能出现“两次都是正面向上”、“两次都是反面向上”．

尽管随机事件的概率不像函数关系那样具有确定性，但是如果我们知道某事件发生的概率的大小，也能作出科学的决策．例如：做连续抛掷两枚质地均匀的硬币的试验1 000次，可以预见：“两个都是正面向上”大约出现250次，“两个都是反面向上”大约出现250次，而“一个正面向上、一个反面向上”大约出现500次．

已知某厂的产品合格率为9%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是(

) A．合格产品少于9件

C．合格产品正好是9件

B．合格产品多于9件

D．合格产品可能是9件

【精彩点拨】

利用“概率”及“合格率”的意义进行分析．

【尝试解答】

一个事件的概率是通过大量的重复试验得到的，

其反映了该随机事件发生的可能性大小，因此在本题中“抽出10件产品”相当于做了10次试验，而每次试验结果可能是正品，也可能是次品．故只有D正确．

【答案】

D

随机事件在一次试验中发生与否是随机的．但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数，哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们预测事件发生的可能性．

[再练一题] 4．“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法不正确的是(

) A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨

B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨

C．北京和上海都可能没降雨

D．北京降雨的可能性比上海大

【解析】

北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，所以B，C，D正确，A错误．

【答案】

A [构建·体系]

1．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%．下列解释正确的是(

) A．100个手术有99个手术成功，有1个手术失败

B．这个手术一定成功

C．99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术

D．这个手术成功的可能性大小是99% 【解析】

成功率大约是99%，说明手术成功的可能性大小是99%，故选D．

【答案】

D 2．下列叙述中的事件最能体现概率是0．5的是(

)

【导学号：28750051】

A．抛掷一枚骰子10次，其中数字6朝上出现了5次，抛掷一枚骰子数字6向上的概率

B．某地在8天内下雨4天，该地每天下雨的概率

C．进行10 000次抛掷硬币试验，出现5 001次正面向上，那么抛掷一枚硬币正面向上的概率

D．某人买了2张体育彩票，其中一张中500万大奖，那么购买一张体育彩票中500万大奖的概率

【解析】

A，B，D中试验次数较少，只能说明相应事件发生的频率是0．5．

【答案】

C 3．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有(

) A．64个

C．16个

【解析】

80×(1－80%)＝16．

【答案】

C 4．(2016·深圳高一检测)给出下列四个命题：

①设有一批产品，其次品率为0．05，则从中任取200件，必有10件是次品；

②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出51现正面朝上的概率是100；

B．640个

D．160个

③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；

④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频9率是50．

其中正确命题有________．

【解析】

①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的．②③混淆了频率与概率的区别．④正确．

【答案】

④

5．如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为1下次出现反面向上的概率大于2，这种理解正确吗？

【解】

这种理解是不正确的．掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的1规律，即“正面向上”、“反面向上”的可能性都是2，连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其11出现正面向上和反面向上的可能性还是2，而不会大于2．