小结教学实录及点评

《平面向量》复习小结

【学习目标】

1.平面向量的实际背景及基本概念

了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；

2.向量的线性运算

（1）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

（2）通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；

（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义. 3.平面向量的基本定理及坐标表示

（1）了解平面向量的基本定理及其意义；

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

（3）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；

（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4.平面向量的数量积

（1）通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题，体会向量是一种处理几何问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力. 【知识网络】

【要点梳理】

要点一：向量的有关概念

1.向量：

既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法：

(1)字母表示法：如a,b,c,等. (2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如AB，CD等. (3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的起点O为在坐标原点，终点A坐标为x,y，则x,y称为OA的坐标，记为OA=x,y. 3.相等向量：

长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量a与b相等，记为ab. 4.零向量：

长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量：

长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量：

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：0与任一向量共线. 注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量： 长度相等且方向相反的向量. 要点二、向量的运算

1.运算定义

运 算

加法与减法

图形语言

符号语言

坐标语言

OA+OB=OC

OBOA=AB

记OA=(x1，y1)，OB=(x2，y2) 则OAOB=(x1+x2，y1+y2) OBOA=(x2-x1，y2-y1) OA+AB=OB

实数与向量的乘积



ABa

记a=(x，y) 则ax，y

记a(x1,y1),b(x2,y2)

则ab=x1x2+y1y2



两个向量的数量积

2.运算律

加法：

R

ababcosa,b

①abba(交换律)； ②(ab)ca(bc)(结合律) 实数与向量的乘积：

①(ab)ab；

②()aaa；③(a)()a

两个向量的数量积：

①a·b=b·a；

②(a)·b=a·(b)=(a·b)；③(a+b)·c=a·c+

b·c

3.运算性质及重要结论

(1)平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2，称1e12e2为e1,e2的线性组合. ①其中e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底；

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e1,e2的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的. ③当基底e1,e2是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，

即若A(x，y)，则OA=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2-x1，y2-y1) (2)两个向量平行的充要条件

符号语言：a//bab(b0)

坐标语言为：设非零向量ax1,y1,bx2,y2，则a∥b(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0. (3)两个向量垂直的充要条件

符号语言：abab0

坐标语言：设非零向量ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2+y1y2=0

(4)两个向量数量积的重要性质：

①a|a|

即

|a|222a(求线段的长度)；

②abab0(垂直的判断)；

③cosabab (求角度).

专题一

向量的基本运算及几何意义

向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,进行向量的运算常见的方法有两种:定义法和坐标法. (1)在运算中,要会根据题意寻找或画出三角形或平行四边形,利用三角形法则或平行四边形法则,结合平面向量的基本定理求解. (2)若条件是坐标的向量,则直接进行运算.若向量在含有垂直关系的几何图形中给出,则可以建系利用坐标进行向量的运算,从而转化为实数的运算求解. 如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为BC的中点,则

AEBD=(

)

例1.

A.-3

B.0

C.-1

D.1

专题二

向量的模

一般地,求向量的模主要是利用公式|a|2=a2将它转化为向量的数量积问题,利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并,使问题得以解决.或利用公式a=数问题,使问题得以解决.

例2设|a|=|b|=1,|3a-2b|=3,求|3a+b|的值.

专题三

向量的夹角

求向量a,b夹角θ的步骤: ①求|a|,|b|,a·b; ②求cosx2+y2将它转化为实abab(夹角公式); ③结合θ的范围[0,π]求出θ.因此求向量的夹角应先求向量夹角的余弦值,再结合夹角的范围确定夹角的大小. 例3、已知在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥AB,AB=4,AD=CD=2,E,F分别为BC,CD的中点,则∠EAF=

.

专题四

向量的共线与垂直及应用

已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), a//b?alb(b观0)x1y2-x2y1=0

abab0?x1x2y1y2=0

=(6,1),

=(x,y), =(-2,-3).

例4如图,

(1)若 ,求x与y之间的关系式;

,求x,y的值及四边形ABCD的面积.

(2)若在(1)的条件下,又有