2.1.3 相等向量与共线向量优质课教案

2.1.3 相等向量与共线向量

【教材分析】

本节内容是选自人教A版高中数学必修4第二章第一节第三小节的内容，属于概念性知识。向量是集数与形于一身的数学概念，有着丰富的实际背景和广泛应用，是沟通代数、几何与三角函数的桥梁。在现实生活随处可见的力、位移、速度等既有大小又有方向的量是其物理背景，有向线段是其几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象出来的数学概念。通过研究，建立完整的知识体系之后，向量又作为数学工具，广泛的应用与解决数学、物理及生活中的问题。因此，向量在整个高中数学中的地位尤为重要。

平面向量的实际背景及基本概念作为向量知识体系的起始内容，为后续知识的学习奠定了基础。通过认识向量，形成向量相关概念的过程，学生可以体会认识新的数学对象的基本方法，奠定了研究其他数学对象的方法基础。

因此，对于本节概念课来说，重要的不仅仅是相等向量和共线向量的定义，而也要让学生感受数学家概括数学概念的心路历程，体会认识和研究数学新对象的方法和思路，使得本节课起到“抬头看路”的作用。

【学情分析】

学生已具备的知识基础：

（1）

向量的定义及表示方法；

（2）

向量的两个特征；

（3）

零向量，单位向量，平行向量的的相关概念；

学生已具备的方法基础：学生已具备一定的抽象概括能力。

学生的易混点是：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.【教学目标】

1.知识与技能

掌握相等向量、共线向量等概念及其应用；

学会区分平行向量、相等向量和共线向量.；

2.过程与方法

借助几何直观引导学生理解共线向量；

通过共线向量的得出过程，体会由特殊到一般的思维方式；

通过解题实践，体会共线向量的应用；

3.情感、态度与价值观

通过本节课的学习，使学生体会到向量的深刻的几何背景，它是解决几何问题的有力工具，从而激发学生学习兴趣；

【教学重点】理解并掌握相等向量、共线向量的概念；

【教学难点】平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系；

【教学过程设计】

一、复习引入1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？ 3、确定两个向量的特征是什么？4、零向量，单位向量及平行向量的定义是什么？它们各是从什么角度进行定义的？

二、新课引入

1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？三、新知探究

1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关.．．．2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点．．．．．．．．无关）.．．．说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； （2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 四、理解和巩固：

例1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量. 变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）

例2判断：

（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

（4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

例3下列命题正确的是（ ）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. 课堂练习：

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC ⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④正确，⑤不正确.

如图AC与BC共线，

2．书本77页练习4题

虽起点不同，但其终点却相同.

三、小结

：

1、

描述向量的两个指标：模和方向. 2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、共线向量与平行向量关系、相等向量。

四、课后作业：

习题2.1