复习参考题教学设计第一课时

三角函数的图象与性质教学设计

一教材分析：

1、背景分析：

通过前面几节的学习，学生对于正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质有了初步的了解；但是并没有对他们进行细致梳理和消化。因此，适时安排本节复习课，对相关知识点进行系统总结，突出思想方法，突出数学思维的培养。 ２、本课的地位和作用：

本节内容是函数内容的延续，具有非常高的实用价值，在三角函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理、换元等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解三角函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。

二、重难点分析：

根据新课程标准、高考考纲要求以及对教材的分析，确定本节课重难点如下： 重点：教学重点是掌握三角函数的图象和性质，并能灵活应用达到高考要求。 难点：对于三角函数图象的不同特征，学生不容易归纳认识清楚。因此，弄清楚图象之间的异同和平移变换是本节的难点之一。

三、目标分析：

１、知识技能目标：掌握三角函数的概念、图象和性质。

２、过程性目标：通过自主回顾与探索，让学生经历“温故→应用→提升”的训练过程，完善认知结构，领会数形结合、归纳推理、换元等数学思想方法。

３、情感态度价值观目标：让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。

四、学情分析：

１、有利因素学生已经学习了三角函数的定义、图象、性质，已经掌握了三角函数的一些解题方法

和思想方法，对于本节课的学习会有很大帮助。 ２、不利因素本节内容思维量较大，题型较多较难，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理、换元

等能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度。

五、教法学法分析：

根据对教材、重难点、目标、考纲要求及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗

旨，确定以下教法、学法：

启发式教学法、类比复习法，并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。以问题的提出、问题的解决为主线，倡导学生主动参与，自主探究，通过分析、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

六、教学过程设计：

高考真题展示→知识梳理→典例精讲穿插演板

→

方法指点

→

知识扩展

→

课堂练习

→

课堂小结

→

课后作业 (一)高考真题展示：

1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移移后图象的对称轴为(

) A.x＝C.x＝π个单位长度，则平12kπ2－－πkππ(k∈Z) B.x＝＋(k∈Z)

626π(k∈Z)

12D.x＝kπ2kπ2＋π(k∈Z)

12π个单位长度后得到函数的解12πππkπ析式为y＝2sin2x＋，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函数的对称轴为x＝6622π＋(k∈Z).

6解析

由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移答案

B ππ12.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝sinx＋＋cosx－的最大值为(

) 3656A. 53B.1 C. 51

D.

5ππππ1πx＋x－x＋x＋－＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋解析

cos 363352π6π6sinx＋＝sinx＋，函数的最大值为. 3535答案

A π3.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cosx＋，则下列结论错误的是(

) 3A.f(x)的一个周期为－2π B.y＝f(x)的图象关于直线x＝8π对称

3ππC.f(x＋π)的一个零点为x＝ D.f(x)在，π单调递减

62ππ解析

函数f(x)＝cosx＋的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得33

π到，如图可知，f(x)在，π上先递减后递增，D选2项错误.

答案

D 4.(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若5π11π＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(

) f ＝2，f 882πA.ω＝，φ＝ 312111πC.ω＝，φ＝－ 3245π解析

∵f 811π＝2，f 8211πB.ω＝，φ＝－

31217πD.ω＝，φ＝

324＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，

2π211π5π－＝3π，∴ω＝∴f(x)的最小正周期为4＝，∴f(x)＝83π3822sinx＋φ. 3π25π＋φ＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<π，∴取k＝0，得∴2sin×8123πφ＝. 12答案

A 通过这些高考真题，让学生了解高考的主要考点，及考试题型，做到有的放矢。

(二)知识点梳理：

1.常用三种函数的图象性质(下表中k∈Z)

函数

y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

递增

区间

递减

区间

奇偶性

对称

中心

对称轴

周期性

ππ2kπ－，2kπ＋

22[2kπ－π，2kπ]

ππkπ－，kπ＋

22

错误!

[2kπ，2kπ＋π] 奇函数

偶函数

πkπ＋，0

2奇函数

kπ，0

2

(kπ，0)

x＝kπ＋

2π

π2x＝kπ

2π

π

2.三角函数的常用结论

(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；

ππ当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)22求得. (2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π(k∈Z)时为奇函数；

2当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得. (3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换

向左（φ＞0）或向右（φ＜0）(1)y＝sin x―――――――――――――――→

平移|φ―|个单位

纵坐标变为原来的A倍y＝sin(ωx＋φ)――――――――――――→

横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).

通过对知识点的梳理，学生能系统的把握本章节的知识点，为熟练运用做好准备。

(三)典例精讲：

π例1 (1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<2的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(

) πA.f(x)＝2sinx－ 6πC.f(x)＝2sin2x＋ 12πB.f(x)＝2sin2x－

3πD.f(x)＝2sin2x－

6π(2) f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，若x1，2ππx2∈－，，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(

) 36

A.1 1B. 2 C.2 2D.3

25π5ππ－＝π，ω＝2，因为当x＝解析

(1)由题意知A＝2，T＝4时取得最612125π5ππ2×＋φ，所以2×大值2，所以2＝2sin＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得12122ππππφ＝2kπ－，k∈Z，因为|φ|<，得φ＝－.因此函数f(x)＝2sin2x－. 3323π(2)观察图象可知，A＝1，T＝π，则ω＝2.又点－，0是“五点法”中的始6点，

πππ∴2×－＋φ＝0，φ＝.则f(x)＝sin2x＋. 336－函数图象的对称轴为x＝所以ππ＋63πππ＝.又x1，x2∈－，，且f(x1)＝f(x2)，

32126πππ3，因此f(x1＋x2)＝sin2×＋＝. 6326x1＋x2π2＝12，则x1＋x2＝答案

(1)B (2)D

方法探究：

已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.

【训练1】 (1)偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形(E，F是函数与x轴的交点，点G在图象上)，则f(1)的值为(

) 2A. 26B. 2C.2 D.22 π(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的2部分图象如图所示. ①求函数f(x)的解析式；

②将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短1π到原来的倍，再把所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)26π的图象，求函数g(x)在区间0，上的最小值. 8Tπ(1)解析

依题设，＝|EF|＝4，T＝8，ω＝. 24∵函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，且0<φ<π. ∴φ＝π，在等腰直角△EGF中，易求A＝2. 2

πππ所以f(x)＝2sinx＋＝2cosx，则f(1)＝2. 244答案

C (2)解

①设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可知

T2πππ2πA＝1，＝－＝，即T＝π，所以π＝，解得ω＝2，

2362ωππ故f(x)＝sin(2x＋φ).由0＝sin2×＋φ可得＋φ＝2kπ，k∈Z，

63则φ＝2kπ－πππ，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝－，

323π故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin2x－. 3ππππ5π②根据条件得g(x)＝sin4x＋，当x∈0，时，4x＋∈，，

38633所以当x＝

通过课堂练习，让学生参与进来，极大的调动学生的积极性，提高听课效率。

ππ－xx－·cos－3. 【例2】(1)已知函数f(x)＝4tan xsin32(1)求f(x)的定义域与最小正周期；

ππ(2)讨论f(x)在区间－，上的单调性. 44解

(1)f(x)的定义域为{x|x≠π3π＋kπ，k∈Z}，

2π1时，g(x)取得最小值，且g(x)min＝. 82f(x)＝4tan xcos xcosx－－3 π＝4sin xcosx－－3 313＝4sin xcos x＋sin x－3 22＝2sin xcos x＋23sin2x－3

＝sin 2x－3cos 2x

π＝2sin2x－. 32π所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 2πππ(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

232π5π得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 1212π5πππ＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝设A＝－，，B＝x－＋kπ≤x≤441212ππ－，. 124ππππ所以当x∈－，时，f(x)在区间－，上单调递增，在区间44124ππ－，－上单调递减. 124方法探究

1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数. 2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间. ππ【例2】 (2) 把函数f(x)＝2sin(x＋2φ)|φ|<的图象向左平移个单位长22ππ－φ，则φ＝(

) 度之后，所得图象关于直线x＝对称，且f(0)

8π个单位长度之后，得y＝2解析

把函数f(x)＝2sin(x＋2φ)的图象向左平移π2sinx＋＋2φ＝2cos(x＋2φ)＝g(x)的图象，

2ππ根据所得图象关于直线x＝对称，可得g(0)＝g，

42

π即2cos 2φ＝2cos＋2φ＝－2sin 2φ，即tan 2φ＝－1. 2π又f(0)

21ππ故有2sin 2φ<2sin＋φ＝2cos φ，即sin φ<，结合选项，φ＝－. 282答案

C 方法探究：

此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证. 【训练2】已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sin xcos x(x∈R).

2π(1)求f 的值；

3(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解

(1)f(x)＝sin2x－cos2x－23sin xcos x

π＝－cos 2x－3sin 2x＝－2sin2x＋，

62π4ππ＋＝2. 则f ＝－2sin633(2)f(x)的最小正周期为π.由正弦函数的性质得

令2kπ＋ππ3ππ2π≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 26263π2π所以函数f(x)的单调递增区间为kπ＋，kπ＋，k∈Z. 63

(四)课堂小结：总结学生对基础知识的基本技能的掌握基恩数学思想方法的掌握。

本节课复习那些内容，那些题型，那些方法和那些数学思想呢？

1、三角函数的图像和性质。

2、掌握了基本题型，如求周期、求对称中心、求单调性及综合题型。

3、学习了数形结合、归纳推理、换元等数学思想方法。

(五)、课后作业

(六)板书设计：

三角函数的图象与性质教学设计