2.1.3 相等向量与共线向量教案3

§2.1.3 相等向量与共线向量

教学目标：

1.理解向量的共线关系

2.理解向量的相等关系

3.理解向量的共线与相等之间的关系

教学重点与难点：

向量的共线与相等之间的关系

教学过程：

课堂导入：

有向线段有哪3个要素？

对于两个向量a、b，它们的长度可能相等，也可能不相等；它们的方向可能相同，也可能不相同

1

2．长度相等且方向相同的向量是什么关系？

一、相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,记作a＝b. 提示：

（1

（2）对一组相等的向量，将它们的起点平移到同一点O

（3）模相等（或方向相同）是向量相等的必要条件，模相等且方向相同是向量相等的充要条件．

4）对于一个非零向量，只要不改变它的大小和方向，就可以任意平行移动，平移后的向量与原向量是相等

（5）对于不共线的四点A、B、C、D，若

ABCD

，则A、B、C、D

（6）相等向量具有传递性，即如果a＝b，且b＝c，那么a＝c．

典例剖析

例1

如下图，四边形ABCD和ABDE（1）写出与向量

ED

相等的向量；

EC

的模．

1 （2）若ED

＝3，求向量

规律：

（1）在图形背景下找相等向量，只要根据相等向量的定义，观察图形可直观得出结论．在逻辑分析中，要

（2）一般地，ABBCAC

，当且仅当AB与BC同向时取等号．

变式练习

如下图，B、C是线段AD的两个三等分点，在以图中各点为起点和终点的向量中，最多可以写出多少个互不相等的非零向量？并举例说明．

设线段AD的长度为3，那么模为1的向量有6个，模为2的向量有4个，模为3的向量有2个，即共有12个向量．

在模为1的向量中ABBCCD,BACBDC.

∴

不同的向量只能写2个

在模为2的向量中，ACBD,CADB.

∴

不同的向量也只能写2个

模为3的向量是

AD,DA.

它们不相等．

故最多可以写出6个互不相等的非零向量

例如AB、BA、AC、CA、AD、DA.

二

、共线向量

任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量

疑似点提示：

（1

（2

（3）两个共线向量a、b

（4）两个非零共线向量也包括以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不相等；方向相反且模相等；方向相反且模不相等．因此，共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．

典例剖析

例2

（1）若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等；

（2

（3）若a为非零向量，则与a相等的向量必与a共线；

答案：

（1

（2）假命题，不相等的两个向量有可能其模不相等，但方向相同或相反，从而不相等的两个向量有可能个

（3）真命题，相等向量其方向相同，从而一定是共线向量；

规

律：

判断与共线向量有关的命题的真假，要依据共线向量或平行向量的定义，并结合图形，列举反例等进行评2

判．只要有一个反例与命题不符，则命题不正确，同时要注意零向量与任何向量共线这一特例．

变式训练

如下图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC与BD 相交于点O，在向量

等中，哪些向量是共线向量？

AO，AC，OC，BO，DO，AB，CD，

∵

A、O、C三点共线

∴AO，AC，OC是共线向量

∵

B、O、D三点共线，

BO，DO，BD是共线向量

∵

AB∥DC ∴AB与DC是共线向量

∵

AD∥BC AD与BC是共线向量

练习：

1．

的向量叫相等向量，若a与b相等，记作

2．由于向量可以平行移动，所以任一组平行向量都可以移到同一直线上，因此平行向量也叫

3．向量与有向线段的区别是：向量只有

和

两个要素，与

无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是向量相同向量．有向线段有

、

和

三个要素，

不同，尽管大小和方向相同也是不同有向线段．

4．共线向量与相等向量的关系，即共线向量

是相等向量，而相等的向量

5．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．由此可知，任意一组平行向量都可以

．

作

业

P77，第3题.P78，第2题. 板书设计：

§2.1.3 相等向量与共线向量

例题一

相等向量

共线向量

区别：

联系：

例题二：

总结：

3