探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质特级教师教学实录

利用单位圆中三角函数线探究正弦函数、余弦函数的性质

一、教学设计意图

在学生掌握了任意角的三角函数概念，了解关于正弦线、余弦线、正切线的概念与作法之后，课本提出了利用三角函数线研究①正弦函数、余弦函数和正切函数的值域；②正弦函数和余弦函数在

[0，2π）上的单调性；③正切函数在,

上的单调性。学生在解决此问题时，由于缺乏动态的思维，难以快速、22准确地判断出上述几个性质。本节课借助于几何画板生成关于三角函数线随着角的变化而变化的动态效果，让学生能够准确得到三角函数的一些简单性质，加深对三角函数线的理解，学会利用三角函数线解决问题。

二、教学目标描述

1、知识与能力：

①加深对三角函数线的认识，学会利用三角函数线解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。

②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力；

③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。

2、过程与方法：

通过自主学习和协作学习培养动手与思考能力，以及对图形反馈的信息进行整理和加工的能力。培养归纳总结和实验探究的能力。

3、情感态度与价值观：

通过图形抽象的函数结论的统一，一维函数线与二维函数图像的对比，培养了对立统一的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养的合作精神和协作精神。

三、教学内容分析

本节课属于研究性学习课，具体内容是：让学生利用《几何画板》软件生成关于三角函数线的动态效果，从而增强利用三角函数线解决实际问题的能力。

学习的重点：探究角大小的变化与三角函数线（即相关的三角函数值）变化之间的变化规律。

学习的难点：分析出三角函数性质变化之后，进一步探究三角函数在某范围上的图像。

四、教学对象分析

1、个性心理特征：

每个学生都有自己的感官，自己的头脑，自己的性格，自己的知识和思想基础，自己的行动规律。教师不能代替学生感知、观察、分析、思考，只能让学生自己感受事物，明白事理，掌握事物发展变化的规律，教师要尊重其个性发展，让其自主探究学习。

2、媒体操作能力：

高一年级的学生有一定的电脑操作基础，可以自己操作电脑。但学生的操作水平参差不齐，特别是对数学软件《几何画板》不够熟悉，还不能进行操作，所以在上这节课之前要上预备课，主要学习《几何画板》软件的使用。目标使学生能使用几何画板制作简单的几何图形，能在老师的指导下进行简单的操作。

3、知识方面

高一的学生通过对任意角的三角函数内容的学习，对三角函数线有一定的了解，有了知识方面的准备。本节课让学生自己操作软件，通过同学之间的相互协作及交流来发现规律

五、教学策略及教法设计

根据内容特点，本堂课的教学策略是引导学生自主学习的探索研究式。对于教材提出的几个问题，在课前进行思考的基础之上，利用几何画板的动态效果，验证并解决问题。以此发展学生思维能力的独立性与创造性，使学生真正成为学习的主体，从“被动学会”变成“主动会学”。

六、教学环境设计

多媒体教室；多媒体网络教学平台含internet与top2000教学系统

七、教学过程设计与分析

本节课的设计思想是：以多媒体网络教学平台为依托，借助数学软件《几何画板》的绘图功能生成关于三角函数线的动态效果，为学生营造一个自主学习的环境，让他们使用《几何画板》进行数学实验，探求新知、发现规律、从而解决问题。1、单元计划

基本问课程题

框架单元问问题

题

如何利用三角函数线发现三角函数的性质

①正弦、余弦和正切函数的值域。

②正弦函数和余弦函数在[0，2π）上的单调性。

③正切函数在,上的单调性。

22④延伸探究：正弦函数、预先函数、正切函数是否具有奇偶性？

⑤除了上述几个性质，还也没有其他性质。

延伸探究：函数周期性变化。

2、过程设计

进程

教师行为

引导学生复习关于三角函数线的相关概念：在给出的图中指出角α的正弦线、余弦线、正切线。

打开课本P16：

利用单位圆中的三角函数线，探究：

①正弦、余弦和正切函数的值域

②正弦函数和余弦函数在复习[0，2π）上的单调性

旧知并提③正切函数在2,2上出问题

的单调性

探究1：

正弦函数、余弦函数和正切函数的值域：（即正弦线、余弦线和正切线在变化的时候的限制）

此时，教师进行操作示范指导。

学生行为

在给出的图中指出角α

的正弦线是

MP、余弦线

OM、正切线

AT。回顾预习的过程和结果。

操作多媒体，利用几何画板，拖动角α

终边的点P，观察随着角α

的变化，正弦线和余弦线的变化

备注

注意点：三角函数线是一个有向线段

学生先预习和分析到结果，通过这节课的课堂进行验证。

现象：正弦线、余弦线随着角α

的变化在伸长或缩短，但是在变化的过程之中，都有上限1和下限-1。正切线可以向上或向下无线伸长。

结论：正弦线、余弦线的变化范围都是[-1,1]，即正弦函数和余弦函数的值域都是[-1,1]；正切函数在定义域上的值域是

R。

探究2：

正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的单调性。

（复习回顾：函数单调性的判断：主要是看函数值随这自变量的增大而增大，还是随着自变量的增大而减小）

操作多媒体，利用几何画板，拖动角α

终边的点P ，观察随着角

α的变化，正弦线和余弦线的变化；

正弦函数在0,2，函数值随着角x的增大而增大，即正弦函数在0,2上是单调增函数；同理：在32,2上是单调减函数；在32,2上是单调增函数；

余弦函数在(0,π)

，函数值随着角x 的增大而减小；在(π,2π)上随着角x 的增大而增大；即余

探究3：

正切函数在区间2,2上的单调性

延伸探究：

通过正弦线的变化，你能发现正弦函数是否具有奇偶性？

提问：余弦函数呢？是否同样具有奇偶性

①正弦函数、余弦函数值域是

[-1,1]；正切函数的值域是R

②正弦函数在0,2上是单调增函数；同理：在32,2上是单调减函数；在32,2上是单调增函数；余弦函数在(0,π)

上是单调减函数；在(π,2π)上是单调增函数。

学生探究

角x 与角

-x 的正弦线一个方向相反，大小相等

角x 与角

-x 的余弦线是同一个有向线段

思考：对于函数性质，在以往的学习中，都是在函数图像中显示函数的几个基本性质，能否在函数图像上进一步对上述几个性质进行验证。

弦函数在(0,π)上是单调减函数；在(π,2π)上是单调增函数。

正切值随着角x 的增大一直在增大，即正切函数在2,2是单调增函数。

正弦函数是奇函数

余弦函数是偶函数

③正切函数在,是22单调增函数。

④正弦函数是奇函数；余弦函数是偶函数

探究指导学生进行画y=sin

x、结果

y=cosx、y=tan x函数图像进行函数性质的验证。

y=sin

x、y=cos

x、y=tan

x 的图像周期性的延伸变化的。例如正弦函数的在探究

每个( 2kπ , 2kπ＋2π ]上的图像都和正弦函数y=sin

x ,

(0, 2π]上的图像一样。

（先补充关于函数周期性补充的定义）正弦函数，余弦函结数，正切函数都是周期函论：

数，2π是它们的一个周期。

问题1：已知

x ∈

(0, 2π)， 问题解不等式

sin x > cos x ,

探究

问题2：已知

x 是第三象限课堂角，下列式子恒正的是：

总结

（1）sin

x +cos

x（2）tan

x 利用几何画板的绘制函数图像的功能，直接绘制出

y =sin x 、 y= cos x 、y = tan

x的图像进行验证。

利用三角函数线进行解释。

答案：

答案：（3）

此时引导学生发现，函数图像的周期性的变化规律

终边相同的角的三角函数值都是一样的。故

2π是正弦函数，余弦函数，正切函数的周期。

课后思考：正切函数还有没有其它的比

2π小的周期？

+cos

x（3）sin

x +tan x

思考：变化：已知x ∈

(0, 2π)，利用单位圆中的三角函数线，试解不等式 sin

x 答案：

+cos

x > 0

三角函数线与三角函数值

的对应相等，使三角函数值具有形象性。三角函数的几个基本性质是三角函数内容最重要的部分，在以后的学习过程中，通过对三角函数图像的学习，我们将更加的了解和掌握三角函数的这些基本性质。

八、教学过程流程图

给出第一个学习目标

学生利用多媒体探究目标1 教师组织学生讨论目标1 开始

导言（引入课题）

教师判断

正确

给出其他的研究目标

学生分小组进行协作学习，共同研究问题并完成研究目标

教师判断

正确

教师组织学生进小组间交流

教师判断

正确

对所研究的问题提出更深层次的研究目标

结束

师生共同小结形成共识

九、教学情况评价表

1、学生评价表

小组协作者评自我评价

价（判断评价的（对照项目是否准确，5评价，5分）

分）

教师评价

（判断评价的是否准确，5分）

评 价 内 容

信能够熟练上网查找资料并进行息信息处理。能够得到大量有价 素值的信息。

养

能够独立思考，并对资料中的内容进行分析归纳，整合为新 的思想。

完成研究问题

研究成果交流

出色地完成自己在组内的任务，善于理解他人，在组内起 到激励他人的作用。并将自己的观点和资料与他人共享。

能够清楚表达自己的思想，资 料准备充足，态度谦虚。

研究成果表现形式新颖，条理 清楚，内容详实。

研究成果表达清楚，有说服力， 得到其他同学的认可。

态度端正，不浏览与学习无关的网页，积极地搜索有用的信 息。

总 计

2、教师评价表

评 价 内 容

自我评价

（对照项目评价，10分）

听课老师评价

（对照项目评价，10分）

学学习目标设计科学、合理

习课堂构思符合现代教育技术与学科、社 目会、知识模块之间的整合。

标在学会学习和解决达学生获得一定知识， 问题方面形成了一些基本策略和能力。

成

课教师善于创设情景，引导学生学习，充堂分调动学生学习主动性，利用网络资组源，通过学生与网络的交互形成新知。 织充分体现网络课堂教学的双主性。

与控能正确、熟练使用教学软件。

制

课大多数学生能积极参与网络探究和小堂组协作学习。

气学生学习情绪饱满，课堂气氛热烈。

氛

这堂课的总体感觉

十、教学反思：

利用几何画板，描述出三角函数线随着角的变化而变化的动态效果，学生能够更好的去理解基于动态的函数性质。在静态的板书教学过程中，由于是静态的表示三角函数值和三角函数线，学生只能靠想象去感觉三角函数线的变化，同时对于去理解基于动态的函数性质也同样有困难。在操作几何画板的过程中，发现原来很难理解的东西，到多媒体的动态演示下，是多么的形象直观，从而激发学生的学习乐趣。而本节课的不足之处就是，时间紧张，内容又多，因此有些问题，很简单的一笔带过，可能一些基础较差的学生，还不能很好的理解，所以，要另外安排时间，做好后续补充。