小结教案推荐

品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件。

正确的命题的个数为（ ）

A .0 B.1 C.2 D.3

变式：判断下列给出的事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理。

从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1-10各10张）中，任取一张

（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”

（3）“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”。

（★★★★）【例2】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案。

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过。

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a,b,c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响。

（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；

（2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小。（说明理由）

变式：同时投掷两个骰子，计算下列事件的概率：（1）事件A：两个骰子点数相同；

（2）事件B：两个骰子点数之和为8；（3）事件C：两个骰子点数之和为奇数。

1变式：甲、乙、丙三人独立解某一道数学题，已知该题被甲解出而乙解不出的概率为4，21被乙解出而丙解不出的概率为12，被甲、丙两人都解出的概率是9。

（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求该题被解出的概率。

★★★【考题回放】

1. 下列说法正确的是（ ）

A.任何事件的概率总是在（0，1）之间

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

D.概率是随机的，在试验前不能确定

2．从12个同类产品（其中有10个正品，2个次品）中，任意抽取3个的必然事件是( ) A.3个都是正品 B.至少有1个次品 C.3个都是次品 D.至少有1个正品

3. 有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一

个三角形的概率为（ ）

1137A

10 B

10 C

2 D

10

4. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上

- 2 -

的面的点数分别为X,Y,则log2XY1的概率为( ) 1511A.6 B. 36 C.12 D.2

5. 从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ）

112A.1

B.2 C.3

D.3

11. 甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：

（1）甲试跳三次，第三次才能成功的概率; (2) 甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率; (3) 甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.

解密二：古典概型与几何概型

★★★【知识点回放】

古典概型有两个特征：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; （2）各基本事件的出现是

等可能性的，即它们发生的概率相同．

我们称具有这两个特征的概率称为古典概率模型（classical models of probability）简称古典概型

注意：在“等可能性”概念的基础上，很多实际问题符合或近似符合这两个条件，可以作为古典概型来看待．

古典概型概率的计算方法：如果一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A发生的概率P(A)= 。

方法点拨：

（1）古典概型实验的结果即基本事件的找法——例举法（穷举法），列表法或图形法。

（2）求P（A）的步骤：①判断事件A是否为古典概型；②求基本事件的总个数n；③算出m事件A中包含的基本事件的个数m；④求事件A的概率，即P(A)。

n用公式求概率时，关键在于求m，n。在求n时，应注意这n个结果必修时等可能的，在这一点上比较容易出错。在求m时，可结合图形采取列举法，数出事件A发生的结果数。

几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域有关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型. 在几何概型中，事件A概率计算公式为：

P(A)构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积

几何概型的特点：在一个区域内均匀分布，只与该区域的大小有关. 几何概型与古典概型的区别：试验的结果

。

几种常见的几何概型的概率的求法：

（1）设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落在线段l上的点数与线段l的长度成正比，而与线段l在线段L的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为P=

。

- 3 -

（2）设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上的概率为P=

。

（3）设空间区域v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为P=

。

（★★★★）【例3】现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：

（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；

（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率。

分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样

（★★★★）【例4】在区间[-1，1]上随机取一个数x，cos率为(

).

A.x1的值介于0到之间的概221122

B.

C.

D.

323（★★★★）【例5】

在边长为25的正方形中挖去边长为23的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？

（★★★★）【例6】（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人会面的概率．

（★★★★）【例7】某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．

★★★★【考题回放】

1．甲袋中装有3个白球5个黑球，乙袋中装有4个白球6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分掺混后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为（

）

A．2593735

B．

C．

D．4444

44442．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（

）

A．1237

B．

C．

D．

551010223．一个骰子连续掷两次，以先后得到的点数m，n为点P (m，n)，那么点P在圆xy17

外部的概率为（

）

A．1

3

B．2

3

C．11

18

D．13

184. 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（

）

A．1

51

B．11 C．

30668

D．1

40823457．在五个数字1，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是

- 4 -

_______________。

8.

点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为

。

解密三：随机变量的期望与方差

★★★★【知识点回放】

1．随机变量的概念与分类

在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．

，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母

X , Y，，…

表示．

随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．

所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量；

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量。

2．离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，=1，表示反面向上

（2）若是随机变量，ab,a,b是常数，则也是随机变量

3．分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，

ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为P(xi)pi，则称表

ξ

P x1

P1

x2

P2

…

…

xi

Pi

…

…

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

分布列的两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，…；

⑵P1+P2+…=1．

4．数学期望（平均数）：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ

P x1 p1

x2 p2

…

…

xn pn

…

…

则称

Ex1p1x2p2…xnpn… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．

一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1p2…pn，则有

- 5 -

p1p2…pn11，E(x1x2…xn)，所以ξ的数学期望又称为平均数、nn均值

数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

数学期望的一个性质：若ab(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

ξ

η

P x1 x2 …

…

…

xn …

…

…

ax1b

p1

ax2b

p2

axnb

pn

于是E(ax1b)p1(ax2b)p2…(axnb)pn…

＝a(x1p1x2p2…xnpn…)b(p1p2…pn…) ＝aEb，

由此，我们得到了期望的一个性质:E(ab)aEb

5. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…，那么, D＝(x1E)2p1＋(x2E)2p2＋…＋(xnE)2pn＋…

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量ξ的期望．

标准差:D的算术平方根D叫做随机变量ξ的标准差，记作．

方差的性质：

（1）D(ab)a2D；（2）DE2(E)2；

（3）若ξ～B(n，p)，则Dnp(1-p)

备注：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛

（★★★）【例1】下列随机变量中,不是离散随机变量的是（

）

A. 从10只编号的球

( 0号到9号) 中任取一只,被取出的球的号码

 B. 抛掷两个骰子,所得的最大点数

C. [0 , 10]区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值 D. 一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数

- 6 -

k（★★★）【例2】设随机变量的的分布列为P（=k）=（k=1, 2, 3, 4, 5, 6），则Pn（1.5<<3.5）=（

）

A．5421

B．

C．

D．

21212121（★★★）【例3】已知离散型随机变量X的分布列如右表．若EX0，DX1，则a

，b

．

（★★★★）【例5】某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1，遇到红灯时停留的时间都是2min. 3（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.

变式：在1,2,3,,9这9个自然数中，任取3个数．

（1）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；

（2）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数

1,2和2,3，此时的值是2）．求随机变量的分布列及其数学期望E．

解密四：三大分布

★★★★【知识点回放】

1．超几何分布

一般地，在含有M 件次品的

N 件产品中，任取

n 件，其中恰有X件次品数，则事件

{X=k｝发生的概率为

knkCMCNMP(Xk),k0,1,2,nCN,m, 其中mmin{M,n}，且nN,MN,n,M,NN．称分布列

X P 0 1 …

…

0n1n1CMCNCMCNMM

nnCNCNm

mnmCMCNM

nCN

- 7 -

为超几何分布列．如果随机变量

X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量

X 服从超几何分布。

超几何分布的上述模型中，“任取

如果是有放回地抽取，就变成了

件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取

件”.重贝努利试验，这时概率分布就是二项分布.所以两个分很大时，那么不放回抽布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样.若产品总数

样可以近似地看成有放回抽样.因此，当

即有如下定理.

定理

如果当

时，时，超几何分布的极限分布就是二项分布，Mp，那么当

N时（

不变），则

knkCMCNkkM

CNpk(1p)n。nCN2．二项分布

（1）独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

（2）独立重复试验的概率公式：

一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事kk件恰好发生k次的概率Pn(k)CnP(1P)nk．它是(1P)P展开式的第k1项。

n（3）离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

kknk（k＝0,1,2,…，n，q1p）．

Pn(k)Cnpq，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ

P 0 00nCnpq

1 …

k …

n nn0Cnpq

11n1Cnpq

…

kknkCnpq

…

kknk由于Cnpq恰好是二项展开式

00n11n1kknknn0(qp)nCnpqCnpqCnpqCnpq

中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记Cnpqkknk＝b(k；n，p)．

3．正态分布

(1) 正态分布的概念

一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足

P(aXB),(x)dx, ab则称

X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作

- 8 -

N(,2)．如果随机变量

X 服从正态分布，则记为X～N(,2).

（2）正态曲线的性质

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交

②曲线关于直线x=μ对称

③当x=μ时，曲线位于最高点

④当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）

并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近

⑤μ一定时，曲线的形状由σ确定

σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；

σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：

（3）标准正态曲线：当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是f(x)12ex22，（-∞＜x＜+∞），其相应的曲线称为标准正态曲线

标准正态总体的概率问题:

yx

对于标准正态总体N（0，1），(x0)是总体取值小于x0的概率，即

(x0)P(xx0)，

其中x00，图中阴影部分的面积表示为概率P(xx0)

只要有标准正态分布表查表即可.从图中不难发现:当x00时，(x0)1(x0)；而当x00时，Φ（0）=0.5

标准正态总体N(0,1)在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于x0的值(x0)是指总体取值小于x0的概率，即

(x0)P(xx0)，(x00)．

若x00，则(x0)1(x0)．

利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间(x1,x2)内取值的概率，即直线xx1，xx2与正态曲线、x轴所围成的曲边梯形的面积

- 9 -

P(x1xx2)(x2)(x1)．

2（★★★）【例1】设两个正态分布N(1，12)(10)和N(2，2)(20)的密度

函数图像如图所示。则有（ ）

A．12,12

B．12,12

C．12,12

D．12,12

（★★★★）【例3】甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对2者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的3221概率分别为,,且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分. 332（1）求随机变量ε分布列和数学期望；

(2) 用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).

- 10 -