信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象优质课教案设计

2.1.2指数函数及其性质（教学设计）

第1课时

一、教学目标：

1．知识与技能：

（1）通过实际问题了解指数函数的实际背景；

（2）理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.

（3）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；

2．情态与价值：

（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.

(2)感受探究未知世界的乐趣，从而使学生产生对数学的热爱情感.

3．过程与方法：

展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.

二、教学重难点：

重点：指数函数的概念和性质及其应用.

难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.

三、学法与教具：

学法：观察法、讲授法及讨论法.

教具：直尺

四、教学过程：

（一）创设问题情境，引入新课：

①在本章的开头，问题（1）中时间x与GDP值中的y1.073x(xx20)与问题(2)

15中时间t和C-14含量P的对应关系P=[()30]t，请问这两个函数有什么共同特征.

2

②这两个函数有什么共同特征

1t1573015730把P=[()]变成P[()]t，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量221为指数，即都可以用ya（a＞0且a≠1来表示）.

（二）讲授新课

指数函数的定义：一般地，函数ya（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. 例1

下面的函数，哪些是指数函数？

（1）y2x2xx

（2）y(2)

（3）y2

22xx（4）y

（5）yx

（6）y4x

xx（7）yx

（8）y(a1)

（a＞1，且a2）

x

1

解：只有（4）和（8）是指数函数

判断函数是指数函数的标准：

（1）

函数是指数幂的形式，自变量x在指数的位置；

（1）

底数是大于0且不为1的常数；

（2）

指数幂的形式前系数为1.

x当x0时,a等于0若a0,

x当x0时,a无意义若a＜0，如a-2,x1,在实数范围内的函数值不存在.

2若a=1, y1x1,

是一个常量，没有研究的意义，只有满足yax(a0,且a1)（1）、（2）、（3）（5）、（6）（7）的形式才能称为指数函数，、、不符合

yax(a0且a1)的形式,所以不是指数函数.

下面我们用图像来进一步研究指数函数的图像特征和性质：

先来研究a＞1的情况，完成以下表格，并用描点法画出函数y2x的图象

x

y2x

-3 -8 -2

1

4-1

1

20

1 y=2x

1

2 2

4 3 8 y

- 0,1

-

- - - - - 0 - - - - - - - x x再研究，0＜a＜1的情况，请同学们仿照y2的情况，完成以下表格并绘出函数y()12x的图象.

2

x

1y()x

2-3 -2 1

41 1

20 1 1 2 3 18

1

21

41

8

x1

y y

2

-

0,1

-

- -

合作探究一：

- - - 0 - - - - - - - x 让同学们对比观察y2与y()的图象有什么关系?

x归纳：通过图象看出y2与y()的图象关于y轴对称,实质是y2上的xx12x12x1x与y=()上点(-x,y)关于轴对称y.

点(-x,y)2合作探究二：

11让同学们动手在同一坐标系内画函数y2、y3、y、y的图像：

32xxxx(小组观察讨论，在教师点拨下回答下列问题) 问题：1：从画出的图象中，观察函数的图象与底数间有什么样的规律;

问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性; 问题3：指数函数ya（a＞0且a≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.

将学生归纳出的指数函数ya（a＞0且a≠1）的图像特征及性质整理如下表：

图象特征

0＜a＜1 a＞1 向x轴正负方向无限延伸

3 xx函数性质

a＞1 0＜a＜1 函数的定义域为R

图象关于原点和y轴不对称

函数图象都在x轴上方

函数图象都过定点（0，1）

自左向右，

图象逐渐上升

在第一象限内的图

象纵坐标都大于1 在第二象限内的图

象纵坐标都小于1 自左向右，

图象逐渐下降

在第一象限内的图

象纵坐标都小于1 在第二象限内的图

象纵坐标都大于1 增函数

非奇非偶函数

函数的值域为R+ a0=1 减函数

x＞0，ax＞1 x＜0，ax＜1 x＞0，ax＜1 x＜0，ax＞1 yax（a＞0且a≠1）的图象在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a,b]上,f(x)=ax（a＞0且a≠1）值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)];

（2）若x0,则f(x)1;f(x)取遍所有正数当且仅当xR;

（3）对于指数函数f(x)ax（a＞0且a≠1），总有f(1)a;

（4）当a＞1时，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)；

（三）例题讲解

例1：（教材P56

例6）已知指数函数f(x)a（a＞0且a≠1）的图象过点（3，π），求

xf(0),f(1),f(3)的值.

分析：要求f(0),f(1),f(3)的值,只需求出a,得出f(x)=(),再把0，1，3分别代入x，即可求得f(0),f(1),f(3).

（四）巩固练习

1.P68

练习：第2，3题

答案：2.(1)x|x2;(2)x|x0

3.y2xN.

x*13x补充练习:

1.当x[1,1]时,函数f(x)32的值域是多少?

x5解：y|-y1

3（五）

课堂小结

4

1、指数函数的定义及性质各是什么？

2、如何通过画指数函数的图象，抽象出指数函数的性质？

（让学生体会如何通过具体的事例抽象出指数函数模型，以及指数函数性质的推导过程，便于学生建立知识网络）

（六）作业设计

P59

习题2.1

A组第5、6题

(七)课后达标训练

1（1）若0.25n则m,n的关系是C. 4

A.mmn

B. mn

C.mn

D.mn

2（2）2．函数ya|x|(a1)的图象是（ B ）

（3）3．y()x1的图象大致是 （ B ）

12

2.填空：

1（1）

函数ya和ya0,a1的图象关于

y轴对称. axx（2）

函数yaxx-3的图象恒过定点（3,1）. 3. 计算：函数ya在0,1上的最大值与最小值的和为3，求函数y2ax-1在0,1上的最大值.

解：不论a1还是0a1,ya一定是单调函数，所以最大值和最小值一定在区间x0,1的两端点处取得.当x=0时，ya01,当x1时，ya，1a3，a2.

5

所以y4x-1在0,1上是单调递增函数，当x=1时，ymax3.

4.如图所示为在同一坐标系中的指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=mx的图象，比较

0,1,a,b,c,m的大小关系：

.

y=mxy=bx

y=cx

x

y=ax

y=m0

6 结论：c>a>1>b>m>0