探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质优质课一等奖

正弦函数、余弦函数的性质（一）

教材：正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域

目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。

过程：一、复习：正弦和余弦函数图象的作法

y 

y 1 

2232221 2322

o x 二、研究性质：-

-o x 1．定义域：y=sinx, y=cosx的定义域为2．值域：

1 R 1

1引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1

（有界性）

再看正弦函数线（图象）验证上述结论

∴y=sinx, y=cosx的值域为[-1，1] 2对于y=sinx

当且仅当x=2k+2

kZ时

ymax=1 当且仅当时x=2k-2

kZ时

ymin=-1 对于y=cosx 当且仅当x=2k

kZ时

ymax=1 当且仅当x=2k+

kZ时

ymin=-1 3．观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知

当2k

(kZ)时

y=sinx>0 当(2k-1)

(kZ)时

y=sinx<0 当2k-2

(kZ)时

y=cosx>0 当2k+2

(kZ)时

y=cosx<0 三、例题：

例一

（P53

例二）略

例二

直接写出下列函数的定义域、值域：

1

y=11sinx

2 y=2cosx

解：1当x2k-2

kZ时函数有意义，值域:[12,+∞] 2 x[2k+2, 2k+32] (kZ)时有意义, 值域[0, 2] 例三

求下列函数的最值：

1 y=sin(3x+4)-1

2 y=sin2x-4sinx+5

3 y=3cosx3cosx

解：1

当3x+=2k+42即

x=2k312

(kZ)时ymax=0 当3x+=2k-2即x=2k344

(kZ)时ymin=-2 2 y=(sinx-2)2+1

∴当x=2k-2

kZ时ymax=10 当x=2k-2

kZ时ymin= 2 3 y=-1+13cosx

当x=2k+

kZ时

ymax=2 当x=2k

kZ时

ymin= 12

例四、函数y=ksinx+b的最大值为2,

最小值为-4，求k,b的值。

解：当k>0时

kb2kb4k3b1

当k<0时

kb2k3kb4b1（矛盾舍去）

∴k=3

b=-1 例五、求下列函数的定义域：

1 y=3cosx12cos2x

2 y=lg(2sinx+1)+2cosx1

3 y=cos(sinx)解：1

∵3cosx-1-2cos2x≥0

∴12≤cosx≤1

∴定义域为：[2k-3, 2k+3]

(kZ) 12

sinx2k72x2k66(kZ)

cosx122k3x2k3

2k6x2k3(kZ)

∴定义域为：(2k,2k](kZ)

63

3

∵cos(sinx)≥0

∴

2k-≤x≤2k+

(kZ) 22

∵-1≤sinx≤1 ∴xR cos1≤y≤1

四、小结：正弦、余弦函数的定义域、值域

五、作业：P56 练习4 《精编》P86

P57-58习题4．8

2、9

P87

25、30、31

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