2.1.2 向量的几何表示PPT专用课堂实录内容

第1节

平面向量的概念及线性运算

最新考纲

1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知

识

梳

理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算

向量运算

定

义

法则(或几何意义)

运算律

(1)交换律：a＋b＝b加法

求两个向量和的运算

求a与b的相反向量－减法

b的和的运算叫做a与b的差

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方λ(μa)＝λμa；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

a－b＝a＋(－b) ＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

3.共线向量定理

λ(a＋b)＝λa＋λb

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. [常用结论与微点提醒] →＝1(OA→＋OB→). 1.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP2→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1. 2.OA3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性. 4.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. 诊

断

自

测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.(

) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(

) →与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(

) (3)向量AB(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(

) 解析

(2)若b＝0，则a与c不一定平行.

(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上. 答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向→与BA→相等.则所有正确命题的序号是(

) 量，则a＝b；③向量ABA.①

B.③

C.①③

D.①②

解析

根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的

→模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→互为相反向量，故③错误. 与BA答案

A →＝3BC→，OA→＝a，OB→＝3.(2018·东莞调研)如图所示，已知AC→＝c，则下列等式中成立的是(

) b，OC31A.c＝2b－2a

B.c＝2b－a

C.c＝2a－b

31D.c＝2a－2b

→＝3BC→，OA→＝a，OB→＝b，所以OC→＝OA→＋AC→＝OA→＋3AB→＝OA→＋解析

因为AC23→→3→1→31(OB－OA)＝OB－OA＝b－22222a. 答案

A →＝a，OB→4.(必修4P92A12改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA→＝______，BC→＝________(用a，b表示). ＝b，则DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－解析

如图，DC→－OB→

OA＝－a－b.

答案

b－a

－a－b

5.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________. 解析

∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在λ＝μ，唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解1＝2μ，1得λ＝μ＝2. 1答案

2

考点一

平面向量的概念

【例1】

给出下列四个命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

→＝DC→”是“四边形ABCD为平行四②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB边形”的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是(

) A.②③

B.①②

C.③④

D.②④

解析

①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又A，B，C，D是不共线的四②正确.∵AB点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则→→|AB|＝|DC|，

→∥DC→且AB→，DC→方向相同，因此AB→＝DC→.

AB③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.

综上所述，正确命题的序号是②③. 答案

A 规律方法

1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.

aa4.非零向量a与|a|的关系：|a|是与a同方向的单位向量.

【训练1】

下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. 解析

①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；

②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小. 答案

③

考点二

平面向量的线性运算

1→4→【例2】

(1)(2018·枣庄模拟)设D为△ABC所在平面内一点，AD＝－3AB＋3→，若BC→＝λDC→(λ∈R)，则λ＝(

) ACA.2

C.－2

B.3 D.－3 →＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝(2)在△ABC中，点M，N满足AM________；y＝________. →＝－1AB→＋4AC→，可得3AD→＝－AB→＋4AC→，即4AD→－4AC→＝AD→－解析

(1)由AD33→，则4CD→＝BD→，

AB→＝－4DC→，可得BD→＋DC→＝－3DC→，故BC→＝－3DC→，则λ＝－3.

即BD→＝MC→＋CN→＝1AC→＋1CB→＝1AC→＋1(AB→－AC→)＝1AB→－1AC→(2)由题中条件得，MN323226→＋yAC→，所以x＝1，y＝－1. ＝xAB2611答案

(1)D

(2)2

－6

规律方法

1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.

2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果. 【训练2】

(1)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是→＝a，AC→＝b，则AD→＝(

) 半圆弧的两个三等分点，AB1A.a－2b

1C.a＋2b

1B.2a－b

1D.2a＋b

12→＝(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝2AB，BE＝3BC.若DE→＋λAC→(λ，λλ1AB212为实数)，则λ1＋λ2的值为________. →＝1AB→＝

解析

(1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD212a，

→＝AC→＋CD→＝b＋1a.

所以AD2→＝DB→＋BE→＝1AB→＋2BC→

(2)DE231→2→→1→2→＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，

2363→＝λAB→＋λAC→，

∵DE1212∴λ1＝－6，λ2＝3，

1因此λ1＋λ2＝2. 1答案

(1)D

(2)2

考点三

共线向量定理及其应用

【例3】

设两个非零向量a与b不共线. →＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；

(1)若AB(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. →＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b). (1)证明

∵AB→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→，∴BD→共线，又它们有公共点B，

BD

∴A，B，D三点共线. (2)解

∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，

使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，

∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是不共线的两个非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. 规律方法

1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

2.向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立. 【训练3】

已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(

) A.1

1C.1或－2

1B.－2

1D.－1或－2

解析

由于c与d共线反向，则存在实数k使

c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b].

整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.

λ＝k，由于a，b不共线，所以有

2λk－k＝1，1整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－2.

1又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－2.

答案

B

基础巩固题组

(建议用时：30分钟) 一、选择题

→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋1.已知下列各式：①AB→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为(

) CO

A.1

B.2

C.3

D.4 解析

由题知结果为零向量的是①④，故选B. 答案

B →＋CD→＋EF→＝(

) 2.如图，在正六边形ABCDEF中，BAA.0

→

C.AD

→

B.BE→

D.CF→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CB→＋BF→＝CF→. 解析

由题图知BA答案

D 3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内→＋OB→＋OC→＋OD→等于(

) 任意一点，则OA→

B.2OM→

C.3OM→

D.4OM→

A.OM→＋OB→＋OC→＋OD→＝(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→)＝2OM→＋2OM→＝4OM→.故选解析

OAD.

答案

D 4.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(

) A.a与λa的方向相反

C.|－λa|≥|a|

B.a与λ2a的方向相同

D.|－λa|≥|λ|·a

解析

对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.

答案

B →＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于(

) 5.在△ABC中，AB21A.3b＋3c

21C.3b－3c

52B.3c－3b

12D.3b＋3c

→＝2DC→，∴AD→－AB→＝BD→＝2DC→＝2(AC→－AD→)，∴3AD→＝2AC→＋解析

∵BD→，

AB

1→2→1→2∴AD＝3AC＋3AB＝3b＋3c. 答案

A 6.设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(

) A.0

B.1

C.2

D.3 解析

向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3. 答案

D 7.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD→＝λAB→＋μBC→，则λ＋μ等于(

) 的中点，若AOA.1

1C.3

1B.2

2D.3

→→→→1→解析

∵AD＝AB＋BD＝AB＋3BC，

→＝AB→＋1BC→，即AO→＝1AB→＋1BC→.

∴2AO326112故λ＋μ＝2＋6＝3. 答案

D →＋OB→＋2OC→＝0，则△ABC的面8.设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA积与△AOC的面积的比值为(

) A.3

B.4

C.5

D.6 解析

∵D为AB的中点，

→＝1(OA→＋OB→)，

则OD2→＋OB→＋2OC→＝0，

又OA→＝－OC→，∴O为CD的中点.

∴OD又∵D为AB的中点，

11∴S△AOC＝2S△ADC＝4S△ABC，

S△ABC则＝4. S△AOC答案

B 二、填空题

9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形→相等的向量的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA有________个. →相等的向量有解析

根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA→，DO→，EF→，共3个. CB答案

3 10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点→＋AD→＝λAO→，则λ＝________. O，AB→＋AD→＝AC→＝2AO→，

解析

因为ABCD为平行四边形，所以AB→＋AD→＝λAO→，故λ＝2. 已知AB答案

2 →＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝11.已知△ABC和点M满足MA→成立，则m＝________. mAM→＋MC→＝－MA→，如图，延长AM交解析

由已知条件得MBBC于D点，则D为BC的中点.延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，→＝2AD→＝1(AB→＋AC→)，即AB→＋AC→＝3AM→，则m＝3. 即M为△ABC的重心，∴AM33答案

3 →＝3e＋2e，CB→＝ke＋e，12.(2018·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，AB1212→＝3e－2ke，若A，B，D三点共线，则k的值为________. CD12

→→解析

由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB＝λBD.

→＝3e＋2e，CB→＝ke＋e，CD→＝3e－2ke，

又AB121212→＝CD→－CB→＝3e－2ke－(ke＋e)

所以BD1212＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，

所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，

又e1与e2不共线，

3＝λ（3－k），9所以解得k＝－. 42＝－λ（2k＋1），9答案

－4

能力提升题组

(建议用时：10分钟) →＝2OA→＋13.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP→，则(

) BAA.点P在线段AB上

B.点P在线段AB的反向延长线上

C.点P在线段AB的延长线上

D.点P不在直线AB上

→＝2OA→＋BA→，所以2AP→＝BA→，所以点P在线段AB的反向延长解析

因为2OP线上，故选B.

答案

B →＝14.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP→→ABAC→＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(

) ＋OA→→|AB||AC|A.外心

C.重心

B.内心

D.垂心

解析

作∠BAC的平分线AD.

→→ABAC→→，

＋∵OP＝OA＋λ→→|AB||AC|→→ABAC→＝λ

＋∴AP→→|AB||AC|→AD＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，

→|AD|λ′→→→∥AD→.

∴AP＝·AD，∴AP→||AD∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.

答案

B →＋PB→＋λPC→＝0，∠C15.(2018·湘中名校联考改编)若点P是△ABC的外心，且PA＝120°，则实数λ的值为________. →＋PB→＝2PD→.因为PA→＋PB→＋λPC→＝0，所以2PD→＋解析

设AB中点为D，则PA→＝0，所以向量PD→，PC→共线，又P是△ABC的外心，所以PA＝PB，所以λPCPD⊥AB，所以CD⊥AB.因为∠ACB＝120°，所以∠APB＝120°，所以四边形→＋PB→＝2PD→＝PC→，所以2PD→＋λPC→＝PC→＋λPC→＝0，所以APBC是菱形，从而PAλ＝－1. 答案

－1 16.(2018·西安调研)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与→＝mAB→＋AD→，则实数m的值为________. CD交于点E，若AE→＝1AD→＋1AO→

解析

由N是OD的中点得AN221→1→→3→1→＝2AD＋4(AD＋AB)＝4AD＋4AB，

又因为A，N，E三点共线，

3→1→→＝λAN→，即mAB→＋AD→＝λ4AD＋4AB，

故AE→与AD→不共线，

又AB

11m＝λ，m＝43，1所以解得故实数m＝3. 341＝λ，λ＝43，1答案

3