2.1.2 向量的几何表示国家获奖教案

2.1.2向量的几何表示

巧家一中 宋贤慧

一、

教材与学情分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4》（人教A版）第二章第一节的第一课时（2.1）《平面向量的实际背景及基本概念》．本节内容属于概念性知识．

向量是集数与形于一身的数学概念，有着丰富的实际背景和广泛应用，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁．在现实生活中随处可见的力、位移、速度等既有大小，又有方向的量是其物理背景，有向线段是其几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学工具，广泛地应用于解决数学、物理学科或实际生活中的问题.因此，它在整个高中数学的地位是很重要的. 本节课是《平面向量》的起始课，通过本节课的学习，让学生体会到向量具有大小和方向两个基本特征，研究向量我们可以从大小和方向两个角度入手.另外，实数学习的经验可以启发我们对向量的学习，引进一个量，就要研究它的运算，研究相应的运算律，因此，《平面向量》这一章，后续将要研究的内容就比较明朗了，这体现了本节课内容，对这一章的教学具有“统领全局”的作用. 另外，对于本节课的教学，重要的是让学生去体会研究数学新对象的方法和基本思路，而不是向量的形式化定义及几个相关概念.因此，本节课内容的学习，它的理论意义远远大于它在解题中的作用．

因此，我认为本节课的教学重点是向量的概念，向量的几何表示，相等向量的概念. 二、教学目标：

知识与技能：

了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

过程与方法：

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。

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情感、态度与价值观

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。

三．重点难点

重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程设计

（一）创设情境，引入课题

思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课. 思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择. （二）新知探究、提出问题

①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？

②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？

③数量与向量的区别在哪里？

活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量. 教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量

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加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题. 讨论结果: ①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略. 提出问题①如何表示向量? ②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么? ③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量? ④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗? ⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量? ⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系? ⑦数量与向量有什么区别? ⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别? 活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.起点要写在终点的前面.

已知AB,线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度,记作|AB|.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.

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图2 知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定. 用有向线段表示向量的方法是: 1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:AB. 这里要提醒学生注意AB的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点. 2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用a) 3°向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的长度(或称模),记作|AB|(或|a|). 教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义. 讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、CD. 注意:手写体上面的箭头一定不能漏写. ②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.

图3 ③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量. ④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

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⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.

图4 又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b, OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量. 说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系. ⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小. ⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关. （三）应用示例

例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移.(精确到1 km)

图5 分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示

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解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000)

AC表示A地至C地的位移,且|AC|≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100 000)

点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置. 变式训练1. 一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.

图6 解:根据题意画出示意图,如图6所示.|AB|=100 m,|BC|=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,

∴△ABC为正三角形.∴|CA|=100 m,即此人从C点返回A点所走的路程为100 m. ∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.

故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100 m.

图7 例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. (1) ABCD中,AB与CD是共线向量; (2)单位向量都相等. 活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7. 因为AB//CD,所以AB∥CD.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.

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解:(1)正确; (2)不正确. 点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.

图8

例3 如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与OA、OB、OC、相等的量. 活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断OA与EF,OB与AF是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念. 解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO. 点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同. 变式训练2.本例变式一:与向量OA长度相等的向量有多少个？ (11个) 本例变式二:是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？(存在) 例4 下列命题正确的是( ) A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量

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是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确. 答案:C 点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合. 变式训练3.1.判断: (1)平行向量是否一定方向相同？(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？(平行向量) (6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定) 2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个点 D.一个圆

答案:D 3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一个点 B.两个点

C.一个圆 D.一条线段

答案:B 六、课堂小结

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本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.

七、课后作业

1.（必做作业）教材P77 A组习题

2.（选做作业）平面向量既有大小，又有方向，集数与形于一身.我们也知道，平面直角坐标系中，坐标与点是一一对应的，实质上也是沟通了数与形之间的关系，那么，平面向量有没有坐标表示呢？如果有，你觉得应该怎么定义？请课后进行研究. 八、教学反思

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