探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质ppt配用优秀获奖教案

三角函数线

内容和内容解析：

学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,但这是在“数”的角度上认识三角函数的，我们还可以从“形”的角度去考察任意角的三角函数, 即用有向线段表示三角函数值，这也是三角函数与其它基本初等函数不同的地方。

本节课所学习的三角函数线是正弦线、余弦线、正切线，它们分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示，它们都是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段。

用有向线段表示三角函数值,可实现数与形的完美结合,我们将利用数形结合的思想方法巧妙求解三角方程和三角不等式，使得对三角函数的研究大为简化；在后继的学习中，我们将会用三角函数线“探究”同角三角函数的平方关系式，利用平移三角函数线的方法画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象。由此可见，学好三角函数线是学习三角函数图象的基石，它在本章的地位是极其重要的，它在培养学生数形结合（特别是“以形解数”）的能力上有着巨大的潜在作用。

因此，本节课的学习重点是：三角函数线的作法及其简单应用。

目标和目标解析：

1．使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 2．借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力. 3．激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.

教学问题诊断分析：

1．取角α的终边与单位圆的交点P，过点P作x轴的垂线，设垂足为M，则有向线段MP=y=sinα，有向线段MP叫做角α的正弦线。当α的终边在第三或第四象限时，部分同学会错误地用PM表示正弦线,其原因是,没有正确理解有向线段MP的方向它会随着点P的纵坐标y的正、负变化而相应地发生正、负变化，不可随意改变有向线段MP的起点和终点。同样，角的余弦线OM、正切线AT的起点与终点的位置也不能改变. 的终边在第一或第四象限时, 点A的坐标是(1,0),点T是α的=，但是角α的终边在第二、2．对于正切tanα，若当终边与过点A作圆的切线的交点,则得到tanα三象限时，角的终边上没有横坐标为1的点，部分数同学此时可能会取x=-1的点T‘，tanα=T‘A‘,这样一来，就会造成有向线段的表示方法不能统一，此时要引导学生探究角α反向延长线上的点T，借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到tanα统一表示为AT. =,使正切线

综上所述，本节课的学习难点是：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来. 学习行为分析：

1．学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,以及诱导公式一,为三角函数线的学习做好了知识准备；前面学习指数、对数函数图象时,学生已学习了几何画板的基础知识，现在他们已经具备初步的几何画板应用能力，能够制作简单的动画，开展数学实验。

2．学习本课时，首先通过设置问题情境，让学生通过类比联想，主动探索三角函数值的几何形式，激发学生的学习兴趣；再让学生自己利用几何画板软件做出三角函数线，并改变角的终边位置,观察三角函数线的变化情况,培养学生自主探究的能力；在探究学习的过程中,注意及时纠错（诊断分析中已提到的问题）,引导学生正确做出三角函数线；然后借助三角函数线求解三角方程和不等式,充分发挥“以形解数”的巨大作用,进一步培养学生数形结合的能力；最后让学生利用几何画板合作探究，拓展思维，大胆猜想，建设一个开放的数学学习环境. 教学支持条件分析：

为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，应当采取以下支持条件，以帮助学生更好地发现数学规律。

1．使用多媒体教室，让学生自己利用几何画板软件探究数学规律，做数学实验。

2．采用科研式教学法，“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”

3．教学中充分运用实验、观察，体验知识的形成过程；类比、联想，产生知识迁移；猜想、求证，达到知识的延展。

教学过程设计：

问 题

1.单位圆中弧的长度能表示所对圆心角弧度数的绝对值吗？

2.能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？

3.什么是有向线段? 学习相关概念,分散教学难点,使学生更多的围绕重点展开探索. 4.(复习提问)任意角α的正弦如何定义? 由正弦的定义展开联想。

引导学生探究有向线段，（1）方向：按书写顺序，前者为起点，后者为终点，由起点指向终点。(2)数值：绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值;与坐标轴反向，取负值。然后教师举例说明。

学生回答问题④：角α的终边与单位圆交于点P（x,y），点P的纵坐标y叫做α的正弦. 设计意图

让学生通过类比联想，主动探索三角函数值的几何形式. 师生活动

学生思考并回答问题①，然后教师点明:当r =1时，|α|=l，这样就实现了单位圆中弧的长度与所对圆心角弧度数的形数结合。而问题②正是我们今天一起要探究的问题.

5.能否用几何图形表示出角α的正弦呢? 培养学生的观察、猜想能力，以及数形结合的意识。

学生回答问题⑤：在单位圆中，过点P作x轴的垂线，设垂足为M，则有向线段MP=y=sinα. (学生分析的同时,教师用几何画板演示)然后请学生利用几何画板作出垂线段MP,并改变角的终边位置,观察终边在各个位置的情形,注意有向线段的方向和正弦值正负的对应.特别地,当角的终边在x轴上时,有向线段MP变成一个点,记数值为0. 教师总结：这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角α的正弦线。

6.用哪条有向线段表示角α的余弦比较合适?并说明理由. 培养学生的观察、猜想、类比能力，以及数形结合的意识。

类比正弦线的作法，教师引导学生用几何画板演示有向线段OM，并说明OM=x=cosα.如图所示，有向线段OM叫做角α的余弦线. 培养学生的7. tanα段表示？

8.当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关系？

如何用有向线类比、观察、猜想的能力，以及整合的思维。

教师引导：若令x=1, 则

tanα=y=AT，但是第二、三象限角的终边上没有横坐标为1的点，若此时取x=-1的点T‘，tanα= -=T‘A‘,有向线段的表示方法又不能统一。学生实验、观察，发现当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值相等，再引导学生借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到tanα=.然后学生利用几何画板演示验证，特别是当角的终边落在坐标轴上时，tanα与有向线段AT的对应.

这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角α的正切线. 9.请大家总结这三种三角函数线的作法。

及时归纳总结，加深知识的理解和记忆. 学生总结，教师提醒：三角函数线是有向线段，余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）. 10.练习：利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）（2）. 师生共同分析（1），设角 巩固三角函数线的作法。

学生独立完成,然后投影展示一学生的作品,并强调三角函数线的位置和方向. ;11. 例1

：利用几何画板变式演练,提高能画出适合下列条件的角α的终边：（1）sinα=cosα=；

； （2）α的终边与单位圆交于P(x,y),则sinα=y,所以力

要作出满足的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为的点P，则射线OP即为α的终边.(几何画板动态演示）

请学生分析（2）(3),同时用几何画板演示.（3）tanα=1.

变式演练,提高能力

师生共同分析先作出满足sinα=12.例2

：利用几何画板画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：（1），cosα=的角的终边(例1已做)，然后根据已知条件确定角α终边的范围.（几何画板动态演示）

≥ ; （2）≤- . 给学生建设一个学生得出的结论有以下几种：

(1) sin2α+ cos2α= 1; (2)│sinα│ + │cosα│≥1;

(3) -1≤sinα≤1, -1≤cosα≤1, tanα∈R; (4) 若两角终边互为反向延长线，则两角的正切值相等,正弦、余弦值互为相反数; (5) 当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减13.观察角的终边在各位置的情形,结合三角函数线和已学知识，你能发现什么规律,得出哪些结论？

开放的数学学习环境.合作、探究、交流，产生新的思想，到达数学学习的新境界.

小;………

14.小结：你能谈谈三角函数线的作法以及它的作用吗？

反思学习过程，深化认识。

先由学生思考回答，教师再补充完善，并点明三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具，三角函数与三角函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简化，也是学生今后探究三角函数的图像与性质的基础。

15.巩固作业。

既保证全体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外. 2.结合三角函数线我们已经发现了一些很有价值的结论,你还能得出哪些结论？（可相互交流，合作探究）

学生完成

1.求下列函数的定义域：

（1）y = ; (2) y = lg(3－4sin2x) . 教学反思:

①几何画板动画演示功能正好可以帮助学生做数学试验，探讨数学问题。这样充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提高。

②不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法. ③让学生动手实践、思考探索，合作交流，真正做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学学习。