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第十七章

勾股定理

教学目标：

1.会用勾股定理解决简单问题。

2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。

教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理

教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。

教学过程：

一、出示目标

1.会用勾股定理解决简单问题。

2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。

二、知识结构图

三、知识点回顾

1.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

（4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形：

勾股定理定理：a2b2c2

直角三角形的性质:勾股定理

应用:主要用于计算

a2c2b2,b2c2a2,ca2b2,ac2b2,bc2a2．

直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足a它是一个直角三角形. 2b2c2

则

勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．

2.如何判定一个三角形是直角三角形

（1）

先确定最大边（如c）

（2）

验证c2与a2b2是否具有相等关系

（3）

若c2=a2b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c2≠a2b2，

则△ABC不是直角三角形。

2223、三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若abc，则三角形22222是直角三角形；若abc，则三角形是锐角三角形；若abc，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边

4、勾股数

满足a2b2=c2的三个正整数，称为勾股数

如（1）3，4，5；

（2）5，12，13；

（3）6，8，10；（4）8，15，17

（5）7，24，25

（6）9, 40, 41 四、典型例题分析

例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少? 分析：

这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是_________还是_______，因此要分两种情况讨论．

例2：

如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm，高为15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?

分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的A1B、A2B，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B点，另一个端点在A点时最长，此时可以把线段AB放在Rt△ABC中，其中BC为底面直径．

例3：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为29．

分析：29是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为29的线段，但由勾股定理可知，两直角边分别为________的直角三角形的斜边长为29. 例4：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且证：△AEF是直角三角形．

．求

分析：要证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证_________________________________________即可．

例5：如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．

分析：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题．

例6：已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．

分析：可设BD长为xcm，然后寻找含x的等式即可，由AB=AC=10知△ABC为等腰三角形，可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．

例7：一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．（分析：可以）

分析：将点A与点B展开到同一平面内，由：“两点之间，线段最短。”再根据“勾股定理”求出最短路线

五、补充本章注意事项

勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，在应用勾股定理时，要注意以下几点：

1、要注意正确使用勾股定理

例1

在Rt△ABC中，∠B=Rt∠，a=1，b3，求c。

2、要注意定理存在的条件

例2

在边长为整数的△ABC中，AB>AC，如果AC=4，BC=3，求AB的长。

3、要注意原定理与逆定理的区别

2例3

如图1，在△ABC中，AD是高，且ADBDCD，求证：△ABC为直角三角形。

4、要注意防止漏解

例4

在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c。

5、要注意正逆合用

在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判定，真所谓珠联壁合。当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要视具体情况而言。

例5

在△ABC中，D为BC边上的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，那么DC=_________。

6、要注意创造条件应用

例6

如图3，在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DE，DE、DF分别交AC、BC、于E、F，求证：EF2AE2BF2

分析

因为EF、AE、BF不是一个三解形的三边，所以要证明结论成立，必须作适当的辅助线，把结论中三条线段迁移到一个三角形中，然后再证明与EF相等的边所对的角为直角既可，为此，延长ED到G，使DG=DE，连结BG、FG，则易证明信BG=AE，GF=EF，

∠DBG=∠DAE=∠BAC，由题设易知∠ABC+∠BAC=90°，故有∠FBG=∠FBD+∠DBG=∠ABC+∠BAC=90°，在Rt△FBG中，由勾股定理有：FG2BF2BG2，从而EF2AE2BF2。