探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质公开课教案

授课题目

学校

§1.4.2 正弦函数、余弦函数的周期性

云龙一中

授课教师

李学红

学习目标

1.了解周期函数及最小正周期的概念.

2.会求一些简单三角函数的周期.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P34~ P36，找出疑惑之处）

教室前墙上贴的“课程表”引出本节课，自然界存在许多周而复始的现象，如日出日落、四季交替、地球自转和公转、物理学中的单摆运动和弹簧振动等等，那么在我们所学过的函数中如正弦函数、余弦函数也具有周而复始的变化规律，引出一个新的数学概念----函数的周期性。

二、新课导学

※

复习回顾：请用五点法作出正弦、余弦函数的图象

ysinx

（xR）

ycosx

（xR）

x

y

x

y

y13522322O12322523xy13522322O12322523x从中发现是否具有周而复始的变化规律性？

※

探究一：正弦函数是如何呈现出周期变化的？

小结：①正弦函数图象的重复规律：

②原理：（诱导公式一） ※

探究二：怎样从正弦函数的角度定义周期函数？

由yfxsinx得fx2kfx,kZ得出：yfxsinx的周期是

从而引出周期函数的定义：

对于函数fx，如果存在一个

，使得当x取定义域内

的

时，都有

，那么函数fx就叫做周期函数。

问题1：设任意函数fx，fx0fx是不是成立，若成立则0为所有函数的周期？（1）周期T的性质：

问题2：按照ysinx的周期为2kkZ且k0则周期函数的周期是否唯一？

正弦函数ysinx的周期是

，即最小正周期为

（2）周期T的性质：

从而引出最小正周期的定义：

对于一个函数fx，如果它所有的周期中存在一个

，那么这个

最小正数叫fx的最小正周期。

问题3：对于正弦函数ysinx有sin252sinsin，即fx66336fx

也成立，所以ysinx有比2小的正周期吗？

（3）自变量x的性质：

※

探究三：简单三角函数yAsinwxA0,0的周期求法：

函数

自变量x的系数w

周期

形式

y3cosx

ysin2x

1y2sinx

622

1

小结：yAsinwxA0,0的周期公式： ※

课后探究：如果函数yfx的周期是T，那么函数yfwx的周期是

※

检测试题：（A组）

1、下列函数中最小正周期是的函数是（ ）

1xA、ysinx B、ycos C、ycosx D、ycos2x

22T吗？

wk2、函数ycosxk0的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值是（ ）

34

A、10 B、11 C、12 D、13 3、函数ycosx的周期是 4、已知函数ysinwxw0的周期为，则w 335、已知函数yfx的周期为4，且当x2,2时，fxx21，求f1,f5,f2014的值。

6、讨论下列函数的周期并加以证明：（1）ysinx

（2）ysin2x （3）y2sin2xcosx

题型总结： 7、讨论方程sinxlgx根的个数。

三、课堂小结

1、对周期函数概念的理解

2、函数的周期求法：（1）定义法；

（2）公式法；

（3）图象法。

（B组）

1、下列说法正确的是（ ）

A、当fx4fx时，函数fx的周期是2；

B、因sinxsinx，所以ysinx的周期是；

C、因x时，sinxsinx，所以不是ysinx的周期；

62222D、因x时，sinx是ysinx的周期

sinx，所以6332、已知函数fxsin4x，gxsin3x的最小正周期是T1,T2，则sinT1T2 363、函数fx1sin2x的最小正周期是 4、已知函数fxcosx，则f1f2f3f2014 3cosx,x03155、设fx的定义域为R，最小正周期为，若fx则f 2，24sinx,0x116、已知函数fxsinxsinx，

22（1）画出这个函数的图象；

（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出最小正周期。