复习参考题ppt课件教学实录

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正弦定理和余弦定理教学设计方案

潘颖玲

课题名称

科

目

教学时间

学习者分析

2018.6.3 数学

正弦定理和余弦定理

年级

高二

让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

教学目标

一、情感态度与价值观

1.

培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力

2.

培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角形函数、正弦定理、余弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、过程与方法

1.

启发示探索法，课堂讨论法。

三、知识与技能

1.

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 2.

会运用正弦定理与三角形内角和定理解三角形的两类基本问题。

教学重点、1.

正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点

2.

正弦定理和余弦定理的证明过程。

教学资源

正弦定理和余弦定理

教学活动过程描述

(一) 课题引入

如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C教学活动1 转动。 思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？ A B

C

教学活动2}

(二) 探索新知

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1.1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有

1

-

abcsinA，sinB，又sinC1, cccA 则asinAbsinBcsinCc 从而在直角三角形ABC中， C B asinAbsinBcsinC (图1.1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（让学生进行讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1.1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则asinAbsinB， C 同理可得从而asinAcsinCbsinB， A D B bsinBcsinC (图1.1-3) 让学生思考：是否可以用其它方法证明这一等式？

证明二：（等积法）在任意斜△ABC当中

S△ABC=absinCacsinBbcsinA

两边同除以1abc2121212CabAOBD即得：abc==

sinAsinBsinCc证明三：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ

aaCD2R

(R为外接圆的半径) ∴sinAsinD同理

bc=2R，＝2R sinBsinC由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

证明四：（向量法）

过A作单位向量j垂直于AC



2

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由

AC+

CB=

AB

两边同乘以单位向量j

得

j•(AC+CB)=j•AB

则j•AC+j•CB=j•AB

∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=|j|•|

AB|cos(90A) ∴asinCcsinA

∴ac=

sinAsinC同理，若过C作j垂直于CB得：

abc==

sinAsinBsinCcb=

∴sinCsinB从而 asinAbsinBcsinC

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（让学生课后自己推导）

从上面的研究过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

asinA{教学活动3}

bsinBcsinC

(三) 理解定理，归纳总结

(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，

cksinC；

abcabcb(2）等价于，，sinAsinBsinCsinAsinBsinCsinBac

sinAsinC从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA；

sinB②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的a正弦值，如sinAsinB。

b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作

3

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解三角形。

教学活动4 (四) 课堂练习

第5页练习第1(1)、2(1)题。

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