2.1.3 相等向量与共线向量优秀教学设计

平行向量、相等向量和共线向量

平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系是平面向量的基本概念一节中的难点问题,需要我们特别关注与重视.为了帮助同学们掌握这一难点问题,下面我们从六个方面加以区分、解读.

一、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；

（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 二、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关. ．．．三、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）. 例如AB与BA也是一对平行向量. ．．．．．由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，则向量AB与CD是一组共线向量；向量AD与BC也是一组共线向量. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 四. 平行向量与相等向量的关系

相等的向量一定平行,但是平行的向量并不一定相等.两个向量相等并不一定这两个向量一定要重合. 只用这两个向量长度相等且方向相同即可. 其中“方向相同”就包含着向量平行的含义. 五. 相等向量的判断解析

例1.判断下列各命题是否正确

(1)若｜a｜=｜b｜，则a=b

(2)若A、B、C、D是不共线的四点,则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的等价条件. (3)若a=b,b=c,则a=c

(4) AB=CD的等价条件是A与C重合，B与D重合.

解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. (2)正确.∵AB=DC,∴｜AB｜=｜DC｜且AB∥DC. 又A、B、C、D是不共线的四点. ∴四边形ABCD是平行四边形，反之，若四边形ABCD是平行四边形则AB∥DC，且AB与DC方向相同，因此AB=DC. (3)正确.∵a=b ∴a，b的长度相等且方向相同；

又∵b=c ∴b，c的长度相等且方向相同. ∴a，c的长度相等且方向相同，故a =c

(4)不正确.这是因为AB=CD时，应有：｜AB｜=｜CD｜及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合、B与D重合. 说明：①针对上述结论(1)、(4)，我们应该清醒的认识到，两非零向a、b相等的等价条件应是a、b的方向相同且模长相等. ②针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的. ③结论(4)不正确，告诉我们平面向量a与b相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合. 六.

向量平行与共线的判断解析

例2.下列命题正确的是（

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与cB.C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂD.有相同起点的两个非零向量不平行

解析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.