2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案1

2.3平面向量的基本定理及坐标表示

云南省楚雄州大姚县第一中学 高智丽

一、《考试大纲》、《课程标准》要求

1.了解平面向量的基本定理及其意义.

2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 二、教材分析

平面向量基本定理是学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础，平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加法、减法和实数与向量的积的基础，因此是平面向量中的重要内容之一，充分体现了转化和数形结合的思想。平面向量共线的坐标表示在教材中起着向量坐标运算的延伸作用，它是在学生对平面向量基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，平面向量共线的坐标表示为了用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，同时也为数量积的坐标表示及运算奠定了基础。

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3 平面向量的坐标运算

一、能力发展目标

1.借助物理学力的分解，体会平面向量的正交分解；通过类比平面直角坐标系中点的坐标能够将向量用坐标表示。

2.通过向量线性运算的运算律推导出向量的加法、减法、数乘运算的坐标运算法则。

3.通过标杆题的学习能写出一个平面向量的坐标，体会坐标运算解决问题的方法. 4.培养运算求解能力、体会数形结合的思想方法.

二、学生活动预设

（一）前备知识回顾.平面向量的基本定理是什么？

（二）学生活动探究

学生活动探究一---------平面向量的正交分解及坐标表示

1.如图，在光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力,叫做把重力G分解. 2.由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量,均可以分解为不共线的两个向量的和。

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？

如图，，分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以，为基底，则对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数x,y，可使=+,这样,平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x,y）叫做向量的坐标，记作中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.

，其显然，=（1,0），=（0,1），=（0,0）

在直角坐标平面中，以原点O为起点作=，则点A的位置由向量唯一确定，设+,则向量的坐标（x,y）就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x,y)也就是量的坐标,因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示.

即时训练：写出下列向量的坐标,其中，是与x轴，y轴方向相同的单位向量. 、

标杆题（课本96页例2）

如图，分别用基底，表示向量,,,，并求出它们的坐标.

学生活动探究二---------平面向量的坐标运算

1.设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若=,=则=，=+,根据向量的线性运算性质，向量

-,（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？

2.根据向量的坐标表示，向量

-,的坐标分别如何表示？

3.如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？

（1）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；

（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 4.如图,已知AB，那么向量的坐标如何表示？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？

任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标. 注意：（1）向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关，所以要区分点的坐标和向量的坐标的表示；

（2）平面向量的加、减、数乘运算结果仍然是向量，坐标的运算结果仍然是坐标 标杆题（课本97页例4）

已知a=(2,1), b=(－3,4), 求

a+b,a-b，3a＋4b的坐标. 类比题（课本97页例5）

如图，已知 ABCD的三个顶点的坐标分别是A（-2，1）、B（-1,3）、C(3,4)，试求顶点D的坐标. 反思：这类题型的基本解题步骤、方法是什么？需要注意哪些问题？ 作业：课本100页练习，101页A组1,2,3 课堂小结：通过本节课的学习，你学到了哪些知识点？掌握哪些方法？易错点有哪些？