探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学设计

函数yAsin(wx)的图象

云龙一中 陈萍

教学目标：1、熟练掌握三角函数的“五点法”作图。

2、掌握yAsin(wx)的画法，并理解其图象与ysinx的图象的关系。

教学难点：理解ysinx与yAsin(wx)图象的变换关系

教学重点：“五点法”作图及图象的变换方法

教学过程：

一、复习引入

上一节我们曾学习过正弦函数ysinx的图象，我们是用“描点法”借助三角函数线作出它的图象的。

我们知道，在ysinx的o~2内的图象上起关键作用的点有五个（想一想：哪五个点）

因此，在我们知道正弦函数图象特征的前提下，便可以抓住这五个“关键点”作出正弦函数在一个周期内的图象，这种作图的方法称为“五点法”作图。

而在许多物理和工程技术中，经常会遇到型如yAsin(wx)这样的函数，那么yAsin(wx)的图象有何特征呢？它与ysinx的图象有何关系？

这就是本节课我们要研究的内容！

二、讲授新课[来源:学.科.网]

按照由“简单到复杂”、“特殊到一般”的原则，我们可以通过

几个具体的例子来研究yAsin(wx)与ysinx之间的关系。

例1、试研究y2sinx、ysinx与ysinx的图象关系。

分析：这三个函数的周期都是2，我们只要在同一坐标系中绘出它们在一个周期内的图象，即可观察它们的图象关系。

步骤1、列表：

x

sinx

120 0 0 0 2[来源:Zxxk.Com]



3

22

1 2 1

20 0[来源:学科网ZXXK]-1

-2 -

120 0 0 2sinx

1sinx

20 步骤2：描点

步骤3：连线

请同学们根据上面的图象思考：如何由ysinx的图象得到y2sinx及y1sinx的图象（观察图象变换）

2结论：一般地，yAsinx（A＞0）的图象是由ysinx的图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长（或缩短）到原来的A倍而得到的。

例2、试研究ysin2x、ysinx与ysinx的图象的关系。

分析：这两个函数的周期分别是和2，因此我们仍可以运用“五点法”作出它们在同一坐标系下的一个周期的图象进行观察，从而抽象出ysinx和ysinx之间的关系。

（请同学们在练习本上仿照上例在同一坐标系中作出这三个函数的图象）

请同学们思考：如何由ysinx的图象得到ysin2x及ysinx1212

的图象？（请观察）

结论：一般地，ysinx（＞0）的图象是由ysinx的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长（0＜＜1）或缩短（＞1）到原来的倍得到的。

1例3、试研究ysin(x)、ysin(x)与ysinx的图象关系。

36请同学们自己作出三个图象的草图，并根据图象回答ysin(x)的图象与ysinx的图象有何关系。

结论：一般地，ysin(x)的图象是由ysinx的图象向右（＜0）或向左（＞0）平移个单位得到。

根据上面的三个结论，我们能否由yAsin(wx)的图象变换得出ysinx的图象呢？如何变换呢？

请看例4 如何由ysinx变换得到y2sin(x)的图象？612[来源:学。科。网]

方法1：（1）将ysinx的图象向左平移ysin(x个单位，得到66)的图象（如图）；

（2）各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到1ysin(x)的图象；

26（3）各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到1y2sin(x)的图象。

26方法2：（1）各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到ysinx的图象；

（2）将的图象向左平移个单位，得到ysin(x)的图象；

612312

（3）各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到1y2sin(x)的图象。

26问题：由ysinx的图象得到yAsin(wx)的图象可以如何变换？根据刚才的例题可以得到什么结论？

结论：方法一般有两种，一种为按照、A顺序变换，即先将ysinx、的图象向左（＞0）或向右（＞0）平移个单位得ysin(x)的图象，再将ysin(x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长（0＜＜1）或缩短（＞1）到原来的1倍得到ysin(x)的图象，最后将ysin(x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长（或缩短）到原来的A倍即可得到yAsin(wx)的图象。

另一种为按照、、A顺序变换，即先将ysinx图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长（0＜＜1）或缩短（＞1）到原来的1倍得到ysinx的图象，再将ysinx图象向左（＞0）或向右（＞0）平移个单位得到ysin(x)的图象，最后将图象上各点的各点的横坐标不变，纵坐标伸长（或缩短）到原来的A倍即可得到yAsin(wx)的图象。

三、课堂练习

1、把函数ysin(2x)的图象向右平移个单位，再将所得图48象上各点的横坐标缩短为原来的，求所得函数的解析式。

2、已知函数y2sin(2x)412[来源学§科§网Z§X§X§K]

（1）

用“五点法”作出该函数图象；

（2）

这个函数的图象可以由ysinx的图象经过怎样的变换得到？

别着急，慢慢做！

答案：1、ysin4x

2、图象略。先将ysinx的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），最后将所得图象上各点纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）即可得到y2sin(2x)的图象。

4124四、课堂小结

本节课我们主要研究了yAsinwx()的图象特征，以及yAsinwx()的图象与正弦函数图象的变换关系，并进一步熟练了“五点法”作图。

需要特别注意的是：将ysinx的图象变换为ysin(x)的图象时，是将ysinx的图象向左或向右平移

个单位，而不是个单位。

