阅读与思考 向量及向量符号的由来名师教学设计

平面向量

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量

2、向量加法：设ABa,BCb，则a+b=ABBC=AC

（1）0aa0a；（2）向量加法满足交换律与结合律；

ABBCCD．

PQQRAR，但这时必须“首尾相连”3、向量的减法：

①

相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量

②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，③作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）

4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）aa；

（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，a0，方向是任意的

5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a

6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

二.平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成axiyj，记作a=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：

(1)

若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2

(2)

若Ax1,y1,Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1

(3)

若a=(x,y)，则a=(x, y) (4)

若ax1,y1,bx2,y2，则a//bx1y2x2y10

(5)

若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y2

若ab，则x1x2y1y20

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos

叫做a与b的数量积（或内积）

规定0a0

2向量的投影：︱b︱cos=ab∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影

|a|3数量积的几何意义：

a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积

4向量的模与平方的关系：aaa2|a|2

5乘法公式成立： abababaaba2abba222222b；

2abb

2226平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：abba

R

③分配律成立：abcacbccab

特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；

②对实数的结合律成立：ababab（2）消去律不成立abac不能得到bc

（3）ab=0不能得到a=0或b=0

7两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2

008向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=

（0180）叫做向量a与b的夹角

cos=cosa,babab=x1x2y1y2x1y1x2y22222

当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b

010两个非零向量垂直的充要条件：

a⊥ba·b＝Ox1x2y1y20平面向量数量积的性质