2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教案说课稿

巩留县高级中学

年级：高一

学科：数学

主备人：陈淑萍

二次备课

2.3.1&2.3.2平面向量基本定理与平面向量的正交分解及坐标表示

授课时间: 备课时间：2.8

课时：1课时 课型：新授课

教学目标：

知识与技能目标：了解平面向量基本定理及其意义，了解向量的夹角与向量垂直的概念；能简单的应用平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

过程与方法：通过对平面向量基本定理的探究及其用坐标表示平面向量的过程，让学生体验数学定理的产生形成过程，通过应用，增强学生对向量的应用意识. 情感态度和价值观：用实例激发学生的学习兴趣，经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法.

教学重点：

平面向量基本定理的探究，以及平面向量的坐标表示. 教学难点：对平面向量基本定理的理解及应用.

教学方法：

自主探究，讲练结合

教具学具：尺规

教学过程：

一．复习旧知，设问引入

1．设e1，e2 是不共线的向量，而e1-4e2，ke1e2共线，则实数k＝

．

2．思考:给定平面内任意两个向量e1，e2 ，请你作出向量3e12e2、

e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如1e12e2的向量表示呢？

二．探究新课，应用练习

1．在黑板上画出两个不共线的向量e1，e2 及任一向量a，如图，请学生回答：能否用向量e1，e2表示向量a？如何表示？

e2

e1

a O A M C B N 在平面内任取一点Ｏ，作OAe1,OBe2,OCa．过Ｃ作平行于直线OB的直线，与直线OA交于M；过点Ｃ作平行于直线OA的直线，

1

与直线OB交于N．则有且只有实数1,2，使得OM1e1，ON2e2，所以a=1e12e2，也就是说，任一向量a，可以表示成1e12e2的形式．并且可以证明1,2是唯一的．

2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a=1e12e2．

3．基底概念：我们把不共线的向量e1，e2，叫做表示这一平面内所有向量的基底．

(1)

基底不惟一，关键是不共线；

(2) 由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；(3) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a,e1，e2唯一确定的数量

追问：（1）若e1，e2共线，情况会怎样？

（2）若e1，e2不共线，如何衡量它们的位置关系？（夹角）

4．夹角的概念：规定，已知两个非零向量a和b，作OAa,OBb，则AOB(0180)叫做向量a和b的夹角。

（1）0时，a和b同向；（2）180时，a和b反向；

（3）90时，a和b垂直，记作ab．

5．典例应用：

例1 已知向量e1，e2 ，求作向量2.5e1+3e2

例2 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？

练习1

判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底．(

) (2)零向量不可以作为基底中的向量．(

) 练习2 若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为(

) A．60° B．30° C．120°

D．150°

6．向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2

思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj…………○1

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)…………○2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

例3．如右上图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d ,并求出它们的坐标.

课堂小结：

（1）平面向量基本定理；（2）平面向量的坐标的概念；

布置作业: 导学案课后练习

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板书设计：

2.3.1&2.3.2平面向量基本定理与平面向量的正交分解及坐标表示

1.平面向量基本定理 例1 练习

2.平面向量的正交分解和坐标表示 例2 教学后记：

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