小结特级教师教学实录

第二章

小结——向量坐标法

本节课“第二章

小结——向量坐标法”选自人教A版必修四第二章小结的第一课时。本节课的设计从以下几个方面说明：

一、

教材分析

1、

教材的地位与作用：

向量是高中数学的重要概念之一，它在数学与物理中的应用都很广泛，在解析几何中应用更为直接，用向量方法便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题，是一种具有良好运算通性的数学体系，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理学中的很多问题

2、

教学内容分析：

向量坐标法是第二章平面向量应用中的一种重要解题方法。向量坐标法将几何、向量、代数结合起来，体现了数形结合思想、转化思想。

本节课主要引导学生从题目条件入手，把握用向量坐标法解决几何证明和数量积运算的问题。让学生从不同的几何条件中抓住共同的处理方法的本质，培养学生的转化思想和数形结合思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、

学情分析

1、

知识方面：

学生已完整地学完了平面向量这一章的知识内容，并已能运用平面向量的知识解决一些简单的问题，只是对本章知识没有整体系统的把握，还不能融会贯通地综合运用知识，因此，本节课对现阶段的学生来说尤为重要。

2、心理方面：

学生已具备了一定应用数形结合思想和转化思想的意识和能力，但不熟练，而且现阶段

学生表现欲也很强，本节课的教学设计正好符合高一学生的这个心理特征

三、教学目标

1、熟练掌握分析题目条件，利用已有的垂直关系建立合适的直角坐标系，将几何问题和数量积运算问题转化为代数运算问题，由模仿认知，被动运用条件提升到理性分析问题，主动创造条件。

2、体会向量是一种处理几何问题的有力工具，培养学生的数形结合思想和转化思想。

3、提高学生的运算能力、分析和解决问题的能力，增强学习数学的兴趣。

四、重点、难点

教学重点：1、利用已有的垂直关系，建立直角坐标系，写出相关点的坐标。

2、将几何问题，数量积的运算问题转化为代数问题。

教学难点：如何建立合适的坐标系,写出相关点的坐标。

五、教学方法：

1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。

2.学案导学：见后面的学案

3.教学基本环节：复习导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→练习巩固→课堂小结→思维拓展→布置作业

课前准备：学生复习本章知识，预习学案。

六、教学过程

（一）复习引入（向量的坐标运算）

若，则

1）

2）

3）

4）

5）

6）

(二)新知探究：建立合适的直角坐标系

例1 在等腰直角三角形ABC中，AC=BC,D是BC的中点，E是线段AB上的点，且AE=2BE，求证：AD⏊CE. 证明：（方法一：基底法）

设, ,则||=||,且=0, 则

.

所以，即AD⏊CE.

(方法二:坐标法) 以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系，

设CA=2,则A(2,0),B(0,2),D(0,1),E(,),

所以

所以= ，

所以，即AD⏊CE 学生：学生相互讨论有哪些方法解决此题，再请学生代表讲解题思路，选取典型解题思路，请学生代表到讲台上板书解答过程，其他学生选取自己喜欢的方法在学案上完成此题。

教师：1、教师与学生一起评价学生代表的解题过程、分析这两种方法的优劣，然后选出最佳解题方案。

2、教师强调，坐标法是利用已有的垂直关系建立合适的直角坐标系，把几何证明转化为代数计算，把向量运算转化为函数或者方程问题。（注：学生对如何建立合适的直角坐标系，写出相关点的坐标这一难点的突破，是通过一组题的训练来层层推进。不要求学生的掌握一次到位。此例题的设置，是让学生先排除思维里一些顽固却无效的解题思路，把注意力放到用建立坐标系这一方法上。就是让学生先体会为什么这样做（因为这个方法简单易懂））

(三)新知运用

例2

正方形ABCD中，AB=2,DE=EC,若F是线段BC上的一个动点，求解：建立如图所示直角坐标系，

则A(0,0),E(1,2),设F(2,)(则

因为所以，

时，

取最大值6. ，

). 的最大值.

学生：学生讨论此题使用坐标法的难点在哪里，又该如何解决。然后由学生代表回答，并且到讲台上板书答题，其他学生在学案上完成此题。

教师：与学生一起评价学生代表的答题过程。通过第二道例题巩固新知解法，点出解题

要注意的细节和步骤。

此例题的设计，是为了让学生第二次体会到运用坐标法解题的优越之处，教师在教学当中引导学生观察题目条件，运用已有的垂直关系建立直角坐标系，将向量运算转化为代数计算。和例1不同之处在于，例2直接是向量的运算，好像题型发生了很大变化，实际上都是通过建立坐标系，把相关问题最终转化为代数问题来解决。通过此题进一步让学生把注意力放在通过建立坐标系，把几何证明或者向量运算的相关问题，转化为代数计算的问题上。

（四）学生活动

练习1 如图1，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：

DP=EF 证明：以A为坐标原点，以AB,AD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示坐标系，设正方形边长为1.P(t,t)(

| | |=|=

=

=,即DP

), 则E(), F(), D(0,1), 所以

练习2 如图，在矩形ABCD中，AB=,BC=2,点E为BC的中点，点F在边CD上，若. 解：建立如图所示直角坐标系，则A(0,0),B(则= (), =() ),E(,1)，设F()() 由=1

所以F(1)，

从而= =(

,1) 1、

学生自己完成练习，请两个学生到黑板上解答这两道题。

2、

这两道练习题的选择还是注重题目形式的变化，练习1和例1，练习2和例2在转化过程上很相似，学生可以模仿例题建立合适的直角坐标系。练习1是要用到向量的模长公式，练习2要用到方程思想，而不像之前例1只用到向量的垂直公式，例2用的函数思想。这些变式的设计是为了让学生跳出机械模仿的思维定式。

3、

教师在学生自己完成练习后，给学生点出利用已有的垂直关系建立直角坐标系，当没有已知的垂直关系时，要自己选择合适的原点建立坐标系，将几何问题或者向量问题转化为代数问题后，根据实际情况选择方程思想或者函数思想解决问题。帮助学生思维得到升华。在转化的过程中体会数形结合的妙处，在学习新知的过程中巩固旧知，为下一道难题的突破做铺垫。

（五）小结

1、利用已有的垂直关系建立合适的直角坐标系，写出相关点的坐标。

2、学会将几何证明转化为向量运算，再转化为代数计算。

3、将数量积的讨论转化为方程问题或者函数问题来解决。

教师再次强调如何建立合适的直角坐标系，将几何证明和向量运算转化为代数问题。对学生完成四道例题后的思维做一个提升。

（六）新知变式

在平行四边形ABCD中，AD=1，为CD的中点.若,求AB的长.

解：建立如图所示直角坐标系，设AB=,则A(0,0),B(),D(),C(),E()

解得，

从而AB长为

这道习题是理解的一个难点，学生因为没有明显的垂直关系，而不知道如何建立合适的坐标系，对此题感到困难，教师引导学生思考，坐标系的建立，关键是要方便点的坐标表示，向量的坐标表示，要注意选取合适坐标原点和x轴，y轴，不再陷入到“依葫芦画瓢”的机械模仿的套路里去。

向量坐标法

例1 方法一

方法二

例2

练习1

练习2

板书设计

作业

学案练习

1、

在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则2、

在直角三角形ABC中，C=90，AC=4，则

3、

已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则

4、

若等边三角形ABC的边长为2，平面内点M满足,求

5、

已知平面上三点A、B、C满足||=2, ||=1, ||=,求

的值. 6、

已知菱形ABCD的边长为2，点E、F分别在边BC、DC上，BC=3BE，DC=

DF.若

,求

的值. 第二章

小结——向量坐标法(学生学案) 【学习目标】

1、熟练掌握分析题目条件，利用已有的垂直关系建立合适的直角坐标系，将几何问题和数量积运算问题转化为代数运算问题。

2、体会向量是一种处理几何问题的有力工具。

3、培养运算能力、分析和解决实际问题的能力。

【基础知识】

若, ,则

1、

+=__________________________. 2、

=_________________________. 3、

=____________________________. 4、

=__________________________. 5、||=___________________________. 6、=___________________________. 【探索新知】

例1 在等腰直角三角形ABC中，AC=BC,D是BC的中点，E是线段AB上的点，且AE=2BE，

求证：AD⏊CE.

例2

正方形ABCD中，AB=2,DE=EC,若F是线段BC上的一个动点，求

【课堂练习】

练习1 如图1，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP=EF.

的最大值.

练习2 如图2，在矩形ABCD中，AB=,BC=2,点E为BC的中点，点F在边CD上，若.

[思维拓展]

在平行四边形ABCD中，AD=1，为CD的中点.若,求AB的长.

【课后作业】

. 1、

在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则

2、

在直角三角形ABC中，C=90，AC=4，则

3、

已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则

4、

若等边三角形ABC的边长为2，平面内点M满足,求

5、

已知平面上三点A、B、C满足|的值.

|=2, ||=1, ||=,求

6、

已知菱形ABCD的边长为2，点E、F分别在边BC、DC上，BC=3BE，DC=

DF.若

,求

的值.