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第一章

三角函数(B) (时间：120分钟

满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)11．已知cosα＝，α∈(370°，520°)，则α等于(

)

2A．390°B．420°C．450°D．480°

2．若sinx·cosx<0，则角x的终边位于(

)

A．第一、二象限B．第二、三象限

C．第二、四象限D．第三、四象限

x3．函数y＝tan是(

)

2A．周期为2π的奇函数

πB．周期为的奇函数

2C．周期为π的偶函数

D．周期为2π的偶函数

4π4．已知tan(－α－π)＝－5，则tan(＋α)的值为(

)

33A．－5B．5

C．±5D．不确定5．已知函数y＝2sin (ωx＋φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于(

)

中·华资源%库ziyuanku.com中·华资源%库ziyuanu.com来&源：ziyuanku.comA．1B．2

11C.D.

236．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于(

)

ππA．－B．2kπ－(k∈Z)

22πC．kπ(k∈Z)

D．kπ＋(k∈Z)

2sinθ＋cosθ7．若＝2，则sinθcosθ的值是(

)

sinθ－cosθ3333A．－B.C．±D.

1010104π8．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标10伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(

)

ππ2x－B．y＝sin2x－

A．y＝sin1051π1πx－D．y＝sinx－

C．y＝sin210220π9．将函数y＝sin(x－θ)的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴3

、

π是直线x＝，则θ的一个可能取值是(

)

45π5πA.B．－

121211π11πC.D．－

121210．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是(

)

x3π1＋(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个11．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos222数是(

)

A．0B．1C．2D．4

5π2π2π12．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则(

)

777A．a

B．a

C．b

D．b

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

题号

1

答案

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

1π13．如果cosα＝，且α是第四象限的角，那么cos(α＋)＝________.

52π14．设定义在区间(0，)上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x2轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．

15.

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.16．给出下列命题：

(1)函数y＝sin|x|不是周期函数；

(2)函数y＝tanx在定义域内为增函数；

1π(3)函数y＝|cos2x＋|的最小正周期为；

22ππ(4)函数y＝4sin(2x＋)，x∈R的一个对称中心为(－，0)．

36其中正确命题的序号是________．

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三、解答题(本大题共6小题，共70分)

π3πsinα－cos＋αtanπ－α2217．(10分)已知α是第三象限角，f(α)＝.

tan－α－πsin－π－α(1)化简f(α)；

31(2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值．

25

4sinθ－2cosθ618．(12分)已知＝，求下列各式的值．

3sinθ＋5cosθ115cos2θ(1)2；

sinθ＋2sin θcos θ－3cos2θ(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.

119．(12分)已知sin α＋cos α＝.

53求：(1)sin α－cos α；(2)sinα＋cos3α.

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π20．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．

2(1)求函数f(x)的解析式；

(2)如何由函数y＝2sinx的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．

π21．(12分)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ≤)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个2最小值，且当x＝π时，ymax＝3；当x＝6π，ymin＝－3.

(1)求出此函数的解析式；

(2)求该函数的单调递增区间；

(3)是否存在实数m，满足不等式Asin(ω－m2＋2m＋3＋φ)>Asin(ω－m2＋4＋φ)？若存在，求出m的范围(或值)，若不存在，请说明理由．

22．(12分)已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：0

3

6

9

12

15

18

21

24

t(时)

1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

1.0

0.5

0.99

1.5

y(米)

经长期观测，y＝f(t)的曲线，可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.

(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；

(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

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第一章

三角函数(B) 答案

1．B

2.C

3.A

4.A 2π5．B

[由图象知2T＝2π，T＝π，∴＝π，ω＝2.] ωπ6．D

[若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f(0)＝cosφ＝0，∴φ＝kπ＋，2(k∈Z)．] sinθ＋cosθtanθ＋17．B

[∵＝＝2，

sinθ－cosθtanθ－1∴tanθ＝3. sinθcosθtanθ3∴sinθcosθ＝2＝.] 2＝2sinθ＋cosθtanθ＋110

8．C

[函数y＝sinx1πx－.] sin210πx－π－θ＝sin(x－π－9．A

[将y＝sin(x－θ)向右平移个单位长度得到的解析式为y＝sin333ππππθ)．其对称轴是x＝，则－－θ＝kπ＋(k∈Z)．

44327π5π∴θ＝－kπ－(k∈Z)．当k＝－1时，θ＝.] 121210．D

[图A中函数的最大值小于2，故0

[函数y＝cos2222交点．

π横坐标伸长到原来的2倍x－

y＝sin――→y＝纵坐标不变10] 5π5π2π12．D

[∵a＝sin＝sin(π－)＝sin. 7772ππ8π7π－＝－>0. 742828π2ππ∴<<. 472ππ又α∈4，2时，sinα>cosα. 2π2π∴a＝sin>cos＝b. 77π0，时，sinαsin＝a. 77 、

∴c>a.∴c>a>b.] 2613.

51解析

∵α是第四象限的角且cosα＝. 526∴sinα＝－1－cos2α＝－，

5π26∴cos(α＋)＝－sinα＝. 25214.

3y＝6cosx，解析

由消去y得6cosx＝5tanx. y＝5tanx整理得6cos2x＝5sin x,6sin2x＋5sin x－6＝0，(3sin x－2)(2sin x＋3)＝0，

23所以sin x＝或sin x＝－(舍去)．

3222点P2的纵坐标y2＝，所以|P1P2|＝. 3315．3 解析

由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知：

Tπ2π2＝(－)－(－π)＝，∴T＝π.

233332π2∵T＝＝π，∴ω＝3. ω316．(1)(4) 解析

本题考查三角函数的图象与性质．(1)由于函数y＝sin|x|是偶函数，作出y轴右侧的图象，再关于y轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；(2)错，正切函数在定义域内不单调，整个图象具有周期性，因此不单调；(3)由周期函数的定π1ππ义f(x＋)＝|－cos2x＋|≠f(x)，∴不是函数的周期；(4)由于f(－)＝0，故根据对称中心的2226π意义可知(－，0)是函数的一个对称中心，故只有(1)(4)是正确的．

6π3πsinα－cos＋αtanπ－α2217．解

(1)f(α)＝

tan－α－πsin－π－απ－sin－αsinα－tanα2＝

－tanαsinαcosαsinαtanα＝

－tanαsinα＝－cosα. 3π3π1(2)∵cos(α－)＝cos(－α)＝－sinα＝. 2251∴sinα＝－. 526∵α是第三象限角，∴cosα＝－. 526∴f(α)＝－cosα＝. 54sinθ－2cosθ618．解

由已知＝，

3sinθ＋5cosθ11

、

4tanθ－26∴＝. 3tanθ＋511解得：tanθ＝2. 55(1)原式＝2＝＝1. tanθ＋2tanθ－35sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θtan2θ－4tanθ＋31(2)原式＝sinθ－4sinθcosθ＋3cosθ＝＝＝－. 2225sinθ＋cosθ1＋tanθ12419．解

(1)由sinα＋cosα＝，得2sinαcosα＝－，

5252449∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝，

25257∴sinα－cosα＝±. 533(2)sinα＋cosα＝(sinα＋cosα)(sin2α－sinαcosα＋cos2α)＝(sinα＋cosα)(1－sinαcosα)，

121由(1)知sinαcosα＝－且sinα＋cosα＝，

255121371＋＝. ∴sin3α＋cos3α＝×25125520．解

(1)由图象知A＝2. 5ππ2πππf(x)的最小正周期T＝4×(－)＝π，故ω＝＝2.将点(，2)代入f(x)的解析式得sin(＋φ)126T63πππ＝1，又|φ|<，∴φ＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．

266(2)变换过程如下：

22所有点的横坐标缩短为原来的ππ2y＝2sinxy＝2sin(2x＋)．

y＝2sin(x＋6)纵坐标不变6121．解

(1)由题意得A＝3，T＝5π⇒T＝10π，

22π11π∴ω＝＝.∴y＝3sin(x＋φ)，由于点(π，3)在此函数图象上，则有3sin(＋φ)＝3，

T555πππ3π∵0≤φ≤，∴φ＝－＝. 2251013π∴y＝3sin(x＋)．

510π13ππ(2)当2kπ－≤x＋≤2kπ＋时，即10kπ－4π≤x≤10kπ＋π时，原函数单调递增．

25102∴原函数的单调递增区间为[10kπ－4π，10kπ＋π](k∈Z)．

2－m＋2m＋3≥0，(3)m满足

2－m＋4≥0，解得－1≤m≤2. ∵－m2＋2m＋3＝－(m－1)2＋4≤4，

∴0≤－m2＋2m＋3≤2，

同理0≤－m2＋4≤2.由(2)知函数在[－4π，π]上递增，若有：

Asin(ω－m2＋2m＋3＋φ)>Asin(ω－m2＋4＋φ)，只需要：

11－m2＋2m＋3>－m2＋4，即m>成立即可，所以存在m∈(，2]，使Asin(ω－m2＋2m＋322＋φ)>Asin(ω－m2＋4＋φ)成立．

22．解

(1)由表中数据知周期T＝12，

2π2ππ∴ω＝＝＝，

T126由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5. 由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0. 图像向左平移个单位61

、

∴A＝0.5，b＝1，

1π∴y＝cost＋1. 261π(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，∴cost＋1>1，

26ππππ∴cost>0，∴2kπ－

6262∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，

得0≤t<3或9