2.3.1 变量之间的相关关系教学设计及教案分析

变量间的相关关系

重庆市璧山中学

张露

一、教材分析

学生情况分析：学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算基础。

教材地位和作用：变量间的相关关系是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。为以后更好地研究选修2-3第三章3.2节回归分析思想的应用奠定基础。

二、教学目标

1、知识与技能：利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及线性回归方程系数公式的推导过程，求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解。

2 、过程与方法：

①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。 ②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

3、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。

三、教学重点、难点

重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想求出回归方程。

难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解，教学实施过程中的难点是根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

四、教学设计

（一）、创设情境

导入新课 1、相关关系的理解 我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？

如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。

生活中还有很多描述相关关系的成语，如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”。通过学生熟悉的函数关系，引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。感受数学来源于生活。

（二）、初步探索，直观感知

1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。在研究相关关系前，先回忆一下函数的表示方法有哪些——列表，画图象，求解析式。下面我们就用这些方法来研究相关关系。看这样一组数据：

在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据样本数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？

年龄

23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 第

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（三）、循序渐进、延伸拓展

1、找回归直线

师：下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图，

从整体上看，它们是线性相关的。如果可以求出回归直线的方程，我们就可以清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性。这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表。能否画出这条直线？ 数学实验1： 画出回归直线

脂肪含量40353025201510005脂肪含量403530脂肪含量403530252015105005101520253035年龄404550556065学生方案一 学生方案二

2520

1510055

101520253035404550556065年龄05101520253035404550556065年龄第一种 第二种

脂肪含量403530252015105005101520253035年龄404550556065多种方法展示

总结：

第二种方法好，因为所有的点离这条直线最近。从整体上看，各点与此直线的距离和最小。

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2、利用最小二乘法推导回归系数公式

假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1,y1)(x2,y2)……(xn,yn)。当ˆbxia（i=1，2，……，n），它与实际收集自变量x取xi（i=1，2，……，n）时，可以得到yˆiyi(bxia)（i=1，2，……，n），这样用n个偏差的和来刻画“各到的yi之间的偏差是yiyˆi)，偏差有正有负，易抵消，所以采点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为(yiyi1nˆi，由于带绝对值计算不方便所以换成平方，用绝对值yiyi1nˆi)(y1bx1a)2(y2bx2a)2(y3bx3a)2(ynbxna)2现在的问题就归结为：当a，b取什Q(yiyi1n2么值时Q最小。

将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值时 nn

(xx)(yy)(xx)(yy)iiinni2i122i1(xix)bQna(ybx)(yy)inni1i1

(xix)2(xix)2i1i122b(xx)(yy)xynxyiiiii1nn(xix)2i1ni1nxi2nxi121n1n（其中xxi，yyi） ni1ni1aybx推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”最小的方法叫

“最小二乘法”。

3、求出回归直线方程，并分析它的意义

利用最小二乘法就可以求出回归系数，进一步求出回归方程。下面我们具体操作一下。

我们先明确几个符号的含义：xi表示年龄，x1是23，x2是27，直到x14是61。i从1到14，

yi表示脂肪，y1是9.5，y2是17.8 。xiyi表示年龄与脂肪的成绩，xi2

表示

年龄的平方

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xi年龄

23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60

yi脂肪

9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2

xiyi

218.5 480.6 826.8 1061.9 1237.5 1288.7 1410 1568.8 1630.8 1758.4 1755.6 1943 2112 2110.6 19403.2

2xi

529 729 1521 1681 2025 2401 2500 2809 2916 3136 3249 3364 3600 3721 34181

61 48.071

34.6 27.264286

2n1n1nxxi表示自变量年龄的平均数，yyi表示因变量脂肪的平均数，xi表示自变量的平ni1ni1i1n方和，xiyi表示自变量与因变量乘积的和。要求出 a，b，必须先求出这些量。

i1数学实验2：求出下列各式的值（n=14）

11= xyiyi= ni1ni1nnxxy= xiii1nn2i= i1bxynxyiii1nnxi2nxi12 aybx= ˆbxa yˆ0.5765x0.448 通过计算，求出了a0.448,b0.5765 y第

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求出回归直线方程有什么用呢？表格中选取年龄x的一个值代入上述回归直线的方程，看看得出的数据与真实数值之间的关系。

ˆ0.5765500.448y

29.272估计值是29.272，与实际值28.2有偏差，为什么会出现这样的结果？回归直线是估计出的，把a带入肯定有误差。试预测某人37岁时，他体内的脂肪含量。并说明结果的含义。

ˆ0.5765370.448y

20.882代入计算 我们不能说他的体内脂肪含量的百分比一定是20.882%？只能说他体内的脂肪含量在20.90%,附近的可能性比较大。

（四）、线性回归分析思想在实际中的应用

总结：我们利用回归直线对年龄与脂肪的关系做了上述分析，这种分析方法叫做线性回归分析。利用这种分析方法可以对生活中的很多问题进行分析与预测。

例2有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对销售热饮的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：

摄氏温度/℃

热饮杯数

-5 156 0 150 4 7 12 15 19 23 27 93 31 76 36 54 132 128 130 116 104 89 （1）画出散点图

（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律

（3）求回归方程

（4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数

数学实验3：求出下列各式的值（n=11）

x11= xyyi= ini1ni1nnxy= xiii1nn2i= i1bxynxyiii1nnxi12inx2 aybx= ˆbxa y第

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高考统计部分线性回归方程具体如何应用

ˆaˆbxˆ的求法：

线性回归方程为y（1）

先求变量x的平均值，既x（2）

求变量y的平均值，既y1(x1x2x3xn)

n1(y1y2y3yn)

nˆ，有两个方法

（3）

求变量x的系数bˆ法1b(xx)(yy)iii1n(xx)ii1n（题目给出不用记忆）2(x1x)(y1y)(x2x)(y2y)...(xnx)(yny)（需理解并会代入数据）

222(x1x)(x2x)...(xnx)ˆ法2b(xx)(yy)iii1n(xx)ii1n（题目给出不用记忆）

2x1y1x2y2...xnynnxy,（这个公式需要自己记忆，稍微简单些）

2222xx...xnx12nˆ

ˆ，既aˆybx（4）

求常数aˆaˆaˆbxˆ。可以改写为：ybxˆ（yˆ与y不做区分）

最后写出写出回归方程y

例：已知x,y之间的一组数据：

x

0 1 2 3 y1 3 5 7

求y与x的回归方程：

1解：（1）先求变量x的平均值，既x(0123)1.5

4（2）求变量y的平均值，既y1(1357)4

4ˆ，有两个方法

（3）求变量x的系数b第

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2222(xx)(xx)(xx)(xx)1234ˆ法1b

(01.5)(14)(11.5)(34)(21.5)(54)(31.5)(74)522227(01.5)(11.5)(21.5)(31.5)(x1x)(y1y)(x2x)(y2y)(x3x)(y3y)(x4x)(y4y)

ˆx1y1x2y2...xnynnxy0113253741.545

法2b222222227xx...xnx012312nˆ451.525

ˆ，既aˆybx(4)求常数a77525ˆaˆbxˆx最后写出写出回归方程y

77

数学实验

1、画出回归直线

脂肪含量40

352520105005101520253035年龄404550556065

30

15

2、求出下列各式的值

1n1nxxi= yyi= ni1ni1nxy= xiii1n2i= i1第

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bxynxyiii1nnxi12inx2 aybx= ˆbxa= y

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