构建知识体系教学内容分析

正方形的判定

学习目标1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、

矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点) 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算

.

(难点) 复习引入问题：1

什么是正方形？正方形有哪些性质？

正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等;

③对角线相等且互相垂直平分. 问题2

：

你是如何判断是矩形、菱形？

思考

怎样判定一个四边形是正方形呢？

讲授新课

正方形的判定

活动1

准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 猜想

满足怎样条件的矩形是正方形？

证一证对角线互相垂直的矩形是正方形

. 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,

AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形,

∴

AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°

.

∵AC⊥DB,

∴

AD=AB=BC=CD,

∴四边形ABCD是正方形. 证一证

对角线相等的菱形是正方形

已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,

AC=DB.

求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴

AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，

∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,

∴四边形ABCD是正方形. 活动2

把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 猜想

满足怎样条件的菱形是正方形？

证一证

对角线相等的菱形是正方形. 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,

AC=DB.

求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴

AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，

∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,

∴四边形ABCD是正方形. 典例精析

例1

在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN，

∴AN=BE=CF=DM. 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,

∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形，

∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）

=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形

. 例2

如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形. 证明：∵

DE⊥AC，DF⊥AB ，

∴∠DEC= ∠DFC=90°. 又∵

∠C=90 °，

∴四边形ADFC是矩形. 过点D作DG⊥AB，垂足为G. ∵AD是∠CAB的平分线

DE⊥AC，DG⊥AB，

∴

DE=DG. 同理得DG=DF，

∴ED=DF，

∴四边形ADFC是正方形. 例3 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形. 证明：∵四边形ABCD为正方形,

∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°, ∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH,

∴∠BOE+∠BOH=90°, ∴∠COH=∠BOE, ∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG, ∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH, ∴四边形EFGH为菱形.

∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, ∴四边形EFGH为正方形. 思考

前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？

课堂小结

平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结