二次根式的混合运算课堂实录【3】

16.3 二次根式的混合运算

在有理数的混合运算及整式的混合运算基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的联系,在比较中得到方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算.

1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较,注意运算顺序及运算律在计算过程中的作用.

2.通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法.

1.学会知识间的类比,进一步体会数学学习方法的重要性.

2.通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度.

【重点】

能熟练进行二次根式的混合运算.

【难点】

灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便.

【教师准备】

教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】

复习总结二次根式的加减运算的方法.

导入一:

教师节快要到了,为了表示对老师的敬意,小波做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师.其中一张面积为800 cm2,另一张面积为4500 cm2,他想如果再用金彩带镶上边会更漂亮.他现在有一条长1.2 m的金彩带,请你帮忙算一算,他的金彩带够用吗?若不够用,还需要购买多长的金彩带?

引导学生计算所需金彩带的总长,列式为4(+),思考计算方法.

如何计算呢?通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题.

[设计意图]

创设问题情境,激起学生的探索兴趣和求知欲望.

导入二:

让我们一起来回顾一下二次根式的基本运算,你会计算下面几个式子吗?

计算:

(1)+;(2)×;(3)÷.

学生计算交流后,提出问题:

(+)应怎样计算?乘法分配律依然可以应用吗?

本节课我们重点探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用和二次根式的混合运算的问题.

[设计意图]

通过复习二次根式的运算,自然过渡到二次根式的混合运算,明确本节课的目标.

1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用

思路一

[过渡语]

下面我们看看,整式乘法法则和公式在二次根式混合运算中仍然适用吗?

(1)怎样计算4(+)?

引导学生回忆学习过的整式乘法中的乘法分配律,仿照a(b+c)=ab+ac尝试计算,并全班交流.

4(+)=4+4=4×20+4×30=80+120.

(2)怎样计算(+2)(-2)?

引导学生回忆整式乘法公式,仿照(a+b)(a-b)=a2-b2尝试计算,并全班交流.

(+2)(-2)=()2-(2)2=3-8=-5.

(3)(+2)2和(-2)2又该如何计算呢?

学生讨论,用完全平方公式计算.

(+2)2=()2+2××2+(2)2=3+4+8=11+4.

(-2)2=()2-2××2+(2)2=3-4+8=11-4.

进一步引导学生总结:整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用.

[设计意图]

用类比的方法探索二次根式混合运算的特点,使学生弄清楚新旧知识的区别和联系.让学生亲自动手,进行实验、探究,得出结论,激发学生的求知欲望.

思路二

(1)请同学们完成下列各题:

计算:

①(2x+y)·zx;

②(2xy+3xy)÷xy;

22

③(2x+3y)(2x-3y);

④(2x+1)2+(2x-1)2.

学生计算后,老师点评.这些内容是对八年级上册整式运算的再现.主要有:单项式×单项式;单项式×多项式;多项式×多项式;多项式÷单项式;完全平方公式的运用;平方差公式的运用.

如果把上面的x,y,z改成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢?仍成立.

整式运算中的x,y,z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有的式子,当然也可以代表二次根式,所以整式中的运算规律也适用于二次根式.

下面,我们来验证一下用乘法分配律计算(+)×.

(+)×=(2+3)×=5×=10,

(+)×=×+×=4+6=10.

引导学生观察,发现:这两种方法的结果是相同的.在二次根式运算中,乘法分配律依然可以应用.

(2)自己举例验证平方差公式和完全平方公式是否可以应用于二次根式的运算.

小组讨论后,全班交流.

[知识拓展]

(1)适用于二次根式的乘法公式:①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;②完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.(2)乘法公式的变式:①位置变化:(x+y)(-y+x)=x2-y2;②符号变化:(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2;③指数变化:(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4;④系数变化:(2a+b)(2a-b)=4a2-b2;⑤换式变化:[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2;⑥增项变

化:(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)-z=x-2xy+y-z;⑦连用公式变22222化:(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4;⑧逆用公式变化:(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz.

2.二次根式的混合运算

[过渡语]

二次根式的混合运算顺序也与整式混合运算顺序一样吗?

怎样计算(-2)(2-)?

同桌讨论,类比(a-2b)(2a-b)的计算方法计算上式.

(-2)(2-)

=×2-×-2×2+2×

=6--4+4

=-5+10.

教师明确:二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样:先乘方,再乘除,最后加减;有括号时先算括号内的.

3.例题讲解

[过渡语]

刚才已经分析,二次根式仍然满足整数的运算律和有理数的混合运算顺序,下面我们直接运用这些运算律和公式来解决一些问题.

(教材例3)计算:

(1)(+)×;

(2)(4-3)÷2.

引导学生先观察式子的特点,确定:(1)属于“多项式×单项式”,直接用乘法分配律计算;(2)属于“多项式除以单项式”,“用多项式的每一项除以单项式,再将结果加在一起”即可.

解:(1)(+)×

=×+×

=+

=4+3.

(2)(4-3)÷2

=4÷2-3÷2

=2-.

(教材例4)计算:

(1)(+3)(-5);

(2)(+)(-).

学生观察发现,两个都是“多项式×多项式”的类型,可以根据整式乘法中多项式乘多项式的法则计算即可,而(2)根据平方差公式计算更简便.

解:(1)(+3)(-5)

=()2+3-5-15

=2-2-15

=-13-2.

(2)(+)(-)

=()2-()2

=5-3

=2.

[知识拓展]

(1)像(+)与(-)乘积可以运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,同时它们的积是有理数,不含有二次根式,就属于互为有理化因式.一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形:①和;②+和-;③a+和a-;④m+n和m-n.(2)分母有理化是指把分母中的根号化去,通常在分子、分母上同乘一个二次根式,达到化去分母中的根号的目的.把分母有理化得==.

[设计意图]

通过例题训练,使学生逐步形成类比意识,理解新旧知识的联系.

师生共同回顾本节课所学主要内容:

关于二次根式的四则混合运算,实质上就是实数的混合运算.(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.

1.下列各式计算正确的是

(

)

A.-2=-

B.=4a(a>0)

C.=×

D.÷=

解析:-2=(1-2)=-,故选项A正确;=2a(a>0),故选项B错误;与无意义,故选项C错误;÷=,故选项D错误.故选A.

2.下列计算正确的是

(

)

A.(3-2)(3+2)=9-2×3=3

B.(2+)(-)=2x-y

C.(3-)2=32-()2=6

D.(+)(-)=1

解析:(3-2)(3+2)=9-8=1,所以A选项错误;(2+)(-)=2x-2+-y=2x--y,所以B选项错误;(3-)2=9-6+3=12-6,所以C选项错误;(+)(-)=(+)(-)=x+1-x=1,所以D选项正确.故选D.

3.(2015·孝感中考)已知x=2-,则代数式(7+4)x2+(2+)x+的值是

(

)

A.0

B.

C.2+

D.2-

解析:把x=2-代入代数式(7+4)x2+(2+)x+得:(7+4)(2-)2+(2+)(2-)+=(7+4)(7-4)+4-3+=49-48+1+=2+.故选C.

4.计算:

(1)×;

(2)-;

(3)÷-

×+.

解:(1)原式=×+×-3×=+10-15=-4.

(2)原式=-=3+2--1=2+.

(3)原式=-+2=4+.

第2课时

1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用

2.二次根式的混合运算

3.例题讲解

例1

例2

一、教材作业

【必做题】

教材第14页练习第1,2题;教材第15页习题16.3第4题.

【选做题】

教材第15页习题16.3第6,7,8,9题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.化简-(1-)的结果是

(

)

A.3

B.-3

C.

D.- 2.如图所示,数轴上与1,对应的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则|x-|+等于

(

)

A.

B.2

C.3

D.2 3.计算(-)+的值是

.

4.计算-(5-)的值为

.

【能力提升】

5.计算:--+|2-|.

6.计算:

(1)-2;(2)

+-;

(3)(5+2)(5-2);(4).

7.先化简,再求值:+÷,其中a=1+.

8.已知x=-1,y=+1,求+的值.

【拓展探究】

9.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求x+y2

-的值.

10.(2015·山西中考)阅读与计算:阅读以下材料,并完成相应的任务.

斐波那契(约1175~1250)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果,在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用表示.任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.

【答案与解析】

1.A(解析:原式=-+3=3.故选A.)

2.C(解析:根据对称的性质:对称点到对称中心的距离相等,得到x的值后代入代数式化简求值.由题意得x=1-(-1)=2-,原式=-x+=-2++=2-2+=2-2+(+1)=3.故选C.)

3.2(解析:原式=2-+=2.)

4.-2+2(解析:二次根式的加减运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.-(5-)=3+-5+=-2+2.)

5.解:原式=2--2+2-=.

6.解:(1)-2=+1-2=-1=1.

(2)

+-=

+-=+2-10=+2-10=-.

(3)(5+2)(5-2)=52-(2)2=25-12=13.

(4)=12-2××+=12-8+=.

7.解:原式=+×=+=,当a=1+时,原式===.

8.解:因为x+y=-1++1=2,xy=(-1)(+1)=2,所以+====4.

9.解:∵4x2+y2-4x-6y+10=0,∴4x2-4x+1+y2-6y+9=0.∴(2x-1)2+(y-3)2=0.∴x=,y=3.原式=x+y2

-x2

+5x

=2x+-x+5=x+6.当x=,y=3时,原式=×

+6

=+3.

10.解:第1个数:当n=1时,n-==×=1.第2个数:当n=2时,

n-===××1=1.

教学中强调了前面学过的运算法则和运算律对二次根式同样适用,反映了数学理论的一贯性,使学生在学习中感到所学并不难.整节课,始终以练习为主,通过例题练习,将新旧知识紧密联系在一起,并不断巩固运算法则和运算律在二次根式的运算中的运用.

过分注重了探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用的问题,让学生运用法则和公式计算二次根式的混合运算的练习时间较少,一些学生还容易出现运算顺序出现错误和错用公式的现象.

适当增加变式练习,增加二次根式混合运算的例题,提高分析问题和解决问题的能力,真正达到灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便的目的.

练习(教材第14页)

1.解:(1)(+)=+.

(2)(+)÷=+=4+2.

(3)(+3)(+2)=5+2+3+6=11+5.

(4)(+)(-)=()2-()2=6-2=4.

2.解:(1)(4+)(4-)=42-()2=16-7=9.

(2)(+)(-)=()2-()2=a-b.

(3)(+2)2=()2+4+22=7+4.

(4)(2-)2=(2)2-2×2+()2=22-4.

习题16.3(教材第15页)

1.解:计算均不正确.理由如下:(1)(2)题不能合并,因为它们不是同类二次根式;(3)题在合并同类二次根式时,误把的系数看作0,并去掉,导致运算错误;(4)题是二次根式化简错误,==.

2.解:(1)2+=4+3=7.

(2)-

=3-=.

(3)+6

=2+3=5.

(4)a2+3a=2a2+15a2=17a2.

3.解:(1)-+=3-4+=0.

(2)-+-=5-3+4-6=-.

(3)(+)-(-)=(3+3)-(2-5)=3+3-2+5=8+.

(4)(+)-(+)=+--=--.

4.解:(1)(+5)=×+5×=+5=6+10.

(2)(2+3)×(2-3)=(2)2-(3)2=12-18=-6.

(3)(5+2)2=(5)2+(2)2+2×5×2=75+20+20=95+20.

(4)+÷=÷+÷=

+

=+.

5.解:5

-

+=-+3=,∵≈2.236,∴原式=≈×2.236≈7.83.

6.解:∵x=+1,y=-1,∴x+y=(+1)+(-1)=2,x-y=(+1)-(-1)=2.(1)x2+2xy+y2=(x+y)2=(2)2=12.

(2)x2-y2=(x+y)·(x-y)=2×2=4.

7.解:如图所示,作AB边上的高CD,∵∠ACB=90°,CB=CA=a,∴△ABC,△ACD,△BCD都是等腰直角三角形,∴CD=BD=AD=AB,若设CD=BD=AD=x,则AB=2x,S△ABC=S△ACD+S△BCD,∴a2=x2+x2,∴x2=a2,∴x=a(x=-a不符合题意,舍去),∴AB=2x=2×a=a.

8.解:∵a+=,∴=()2,∴a2++2=10,∴a2+=8,∴a2+-2=6,即=6,∴a-=±.

9.提示:(1)x1=,x2=-.

(2)x1=-5+2,x2=-5-2.

复习题16(教材第19页)

1.解:(1)由二次根式的意义,可知3+x≥0,∴x≥-3,∴当x≥-3时,在实数范围内有意义.

(2)由二次根式的意义及分母不能为0,可知2x-1>0,∴x>,∴当x>时,在实数范围内有意义.

(3)由二次根式的意义及分母不能为0,可知2-3x>0,∴x<,∴当x<时,

在实数范围内有意义.

(4)由二次根式的意义及分母不能为0,可知(x-1)2>0,∴x≠1,∴当x≠1时,

在实数范围内有意义.

2.解:(1)==10.

(2)==2.

(3)

=

=

=.

(4)

=

=.

(5)=··=xy.

(6)

=

=.

3.解:(1)-=-=2---=-.

(2)2×÷5=(×÷)=×==.

(3)(2+)(2-)=(2)2-()2=12-6=6.

(4)(2-3)÷=2÷-3÷=2-3

=4-=-.

(5)(2+3)2=(2)2+2×2×3+(3)2=8+12+27=35+12.

(6)===-2××+=-+=5-.

4.解:由题意可知a2=96×12,∴a===24(负值已舍去).

5.解:∵x=-1,∴x2+5x-6=(-1)2+5(-1)-6=5-2+1+5-5-6=3-5.

6.解:∵x=2-,∴(7+4)x2+(2+)x+=(7+4)(2-)2+(2+)(2-)+=(7+4)(7-4)+22-()2+=72-(4)2+4-3+=49-48+1+=2+.

7.解:由Q=I2Rt,得I=

,当R=5,t=1,Q=30时,I=

=≈2.45(A).

8.解:∵==3,且是整数,n是正整数,∴n的最小值为21.

9.解:(1)略.

(2)由题意可知

由①得OD=OA,把OD=OA代入②中,得OC=OA,把OC=OA代入③中,得OB=OA,∴OB=OA,OC=OA,OD=OA.

10.解:三个式子都成立,举例:

=5

,=6

,

=7

.规律:=n

.证明如下:左边==

=n

=右边,所以结论

=n

成立.

二次根式的大小比较策略

二次根式的大小比较,是二次根式内容中的一种题型,如果能根据不同的特点,掌握二次根式比较大小的常用方法、解法技巧,会起到事半功倍的作用.

比较二次根式的大小,通常有被开方比较法、平方比较法、作差比较法、作商比较法、倒数比较法、分子有理化法、设参比较法、比较整数部分法等.

(1)运用被开方法

比较4和3的大小.

解:∵4==,3==,又32>27,∴4>3.

(2)运用平方法

比较4和3的大小.

解:∵(4)2=42×2=32,(3)2=32×3=27,又32>27,∴4>3.

(3)运用作差法

比较4和3的大小.

解:∵4-3=-=->0,∴4>3.

(4)运用作商法

比较4和3的大小.

解:∵===

>1,∴4>3.

(5)运用倒数法

比较-与-的大小(其中n为正整数).

解:∵=+,=+,其中n为正整数,

且+>+,

∴-<-.

(6)运用分子有理化法

比较与的大小.

解:∵==,

==,

而<,

∴<.

(7)运用设参法

比较A=与B=的大小.

解:设x=54321,则A==,B==,

∵x2+3x

∴<,∴A