原（逆）命题、原（逆）定理第一课时教学设计

17.2.1 勾股定理的逆定理

教学目标

1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.

教学过程

复习引入

问题1

勾股定理的内容是什么? 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2. 问题2

求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：

①

a＝3，b＝4；c=5

②

a＝2.5，b＝6；c=6.5

③

a＝4，b＝7.5; c=8.5 思考

以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？

师：提出问题复习引入

生：回忆并思考回答。

同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.

师：思考

从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?这节课就一起来探索勾股定理的逆定理。

生：思考并回答，联系前面的勾股定理

新课教授

知识点一：勾股定理的逆定理

下面有三组数分别是一个三角形的三边长a、

b、

c:

①5,12,13;

②7,24,25;

③8,15,17.

问题分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？是

生：动手操作并测量

问题2

这三组数在数量关系上有什么相同点？

5,12,13满足52+122=132,

②

7,24,25满足72+242=252,

③

8,15,17满足82+152=172

a2+b2=c2

问题3

古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？

∵32+42=52，∴满足. 师：引导学生思考

生：思考并回答，得到猜想

问题3

据此你有什么猜想呢? 由上面几个例子，我们猜想：命题2

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 师：同学们想一想，我们的这个猜想严谨吗？

生：讨论思考并回答

师：根据学生回答，提出问题，我们一起来证明一下

已知：如图，△ABC的三边长a、b、c，满足a2+b2=c2．

求证：△ABC是直角三角形．

∠C是直角

△ABC是直角三角形

（构造两直角边分别为a、b的Rt△A′B′C′）△ABC≌

△ A′B′C′

证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，

A′C′=b，B′C′=a，则A¢B¢2=B¢C¢2+A¢C¢2=a

2+b2.ìA¢C¢=AC，ïíB¢C¢=BC，ïA¢B¢=AB，

î∴△ABC≌

△A′B′C′(SSS)，∴∠C= ∠C′=90°

，即△ABC是直角三角形. 师：带领学生领悟证明过程。

生：学习并思考

归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形. 师：解读含义，使学生更易理解

勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形

，最长边所对应的角

为直角. 例1：判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：

(1) a=15

，

b=8

，c=17;

(2) a=13 ，b=14

，c=15. 解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. (2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，

∴这个三角形不是直角三角形. 生：思考并回答

师：讲解并归纳方法

归纳：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 变式题：若△ABC的三边a、b、c满足

a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状. 解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0).∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, ∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角. 归纳：已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形

（及时练习，加强学生理解）

(2) 若△ABC的三边

a、b、c

满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状. 解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0，

即

(a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0，

∴

a=3, b=4, c=5，

即

a2+b2=c2∴△ABC是直角三角形. 练习：1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（

C ）

A．2，3，4

B．3，4，6

C．5，12，13

D．4，6，7

2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是

（

D ）A．4

B．3

C．2.5

D．2.4 3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0则△ABC是等腰三角形或直角三角形

生：练习加强巩固

师：讲解强调要点

师：同学们知道直角三角形三边满足a2+b2=c2，这里的a,b,c可能为整数，也可能为小数，而我们把直角三角形三边为正整数的数称为正整数。

知识点二:勾股数

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2

的三个正整数，称为勾股数. 师：同学们回想一下，我们之前所学过的组成直角三角形三边的组合有哪些为勾股数呢？

生：思考并回答

常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等. 勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 练习：下列各组数是勾股数的是

(

A

)

A.6，8，10

B.7，8，9

C.0.3，0.4，0.5

D.52，122，132

方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 知识点三：互逆命题与互逆定理

前面我们学习了两个命题，分别为：

命题1

如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2. 命题2

如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 问题1

两个命题的条件和结论分别是什么？

题设：命题1：直角三角形

命题2：a2+b2=c2 结论：命题1：a2+b2=c2

命题2：直角三角形

问题2

两个命题的条件和结论有何联系？

它们是题设和结论正好相反的两个命题. 生：思考并回答

归纳：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理. 练习：说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？

（1）两条直线平行，内错角相等；内错角相等，两条直线平行.成立

(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 不成立

(3)全等三角形的对应角相等；对应角相等的三角形全等 . 不成立

(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

在角平分线上的点到角的两边距离相等. 成立

随堂练习

1.下列各组数是勾股数的是

(

B

)

A.3，4，7

B.5，12，13

C.1.5，2，2.5

D.1，3，5 2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形

(

A

) A.是直角三角形

B.可能是锐角三角形

C.可能是钝角三角形

D.不可能是直角三角形

3.在△ABC中，∠A,

∠B, ∠C的对边分别a、b、c.①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.以上命题中的假命题个数是（

A

）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2224.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式c+a-b+c-a=0则△ABC的形状是

等腰直角三角形．

5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是____12___cm; (2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为有两个角相等的三角形是等腰三角形

6.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD= 的面积. 52,求四边形ABCD

课堂小结

勾股定理的逆定理

内容：如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形

作用：从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形

注意：最长边不一定是

c，

∠C也不一定是直角；勾股数一定是正整数