构建知识体系教学设计(教案)

勾股定理

——构建知识体系

安宁市第一中学

高燕峰

【教学目标】

⒈知识目标：理解勾股定理及其逆定理的由来及基本用途；

⒉能力目标：能运用勾股定理构造无理数、计算格点线段及平面直角坐标系中两点间的距离；

⒊情感态度与价值观目标：通过梳理勾股定理及其逆定理的基本知识，挖掘勾股定理的内涵及外延，实现温故而知新. 【教学重点】理解勾股定理及其逆定理的由来及基本用途

【教学难点】运用勾股定理解决格点线段及平面直角坐标系中两点间的距离问题

【课型】复习课

【教法】讲授法

【学法】探究学习法

【教学过程设计】

一、学习四问

它是什么？它来自哪里？它有啥用？它怎么用？

二、勾股定理再认识

⒈勾股定理是什么？

勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、1

b、c，则a2+b2=c2.

注：⑴勾股定理是任意直角三角形中三边的数量关系；

⑵勾股定理是直角三角形中边上的一条性质.

⒉勾股定理从哪里来？

AcbCaB[由来]古希腊数学家毕达哥拉斯在一次参加朋友聚会时从地板砖图案中发现的特殊关系.

BS1acbS2S3CA

2

Bac朱实BS1acbS2S3C朱实黄实b朱实ACA朱实

⒊勾股定理有啥用？

A⑴用途一：知两边可求第三边；

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，则a2+b2=c2.

由a2+b2=c2可得：

C22bcaBacbacb2222

bc2a2bc2a2

cabcab22222

例1、若一个直角三角形的两边分别为3、4，则该直角三角形的第三边长为

. ⑵用途二：知一边及另外两边的一种数量关系可求未知边. 例2、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多出1m，当他把下端的绳子拉开5m后，发现下端刚好能接触到地面，你能帮他算出旗杆有多高吗？

⒋勾股定理怎么用？

⑴应用条件：直角三角形；

⑵应用方法：在应用勾股定理之前，得先问问自己斜边是谁.

三、勾股定理的逆定理

⒈勾股定理的逆定理是什么？

勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两短边的平方和等于最长边的3

ACB

平方，那么它是直角三角形.

注：勾股定理的逆定理是直角三角形的一条判定. ⒉勾股定理的逆定理从哪里来？

⑴勾股定理的逆命题：如果一个三角形的两短边的平方和等于最长边的平方，那么它是直角三角形. ⑵勾股定理逆命题的真假：真命题（证明略）；

⑶勾股定理的逆命题——勾股定理的逆定理. ⒊勾股定理的逆定理有啥用？

知一个三角形的三边长可判断此三角形是否为直角三角形. 例3、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：

⑴a=8，b=17，c=15；

⑵a

，b，c. 111345⒋勾股定理的逆定理怎么用？

在应用勾股定理的逆定理之前先问问自己最长边是谁.

四、温故而知新

⒈勾股定理的几何意义

S3S3S1

S3S1S1

S2S2S2

[结论]分别沿一个直角三角形三边向外作正方形、等边三角形、半圆等4

形状相同的图形，均有两小图面积之和等于大图面积. ⒉利用勾股定理造无理数

⑴顺造无理数

11111716141513121110981819111111111111123645711⑵直造无理数

例4、在数轴上确定34

的位置. 34O123456

[相关练习]在数轴上确定41

的位置. ⒊勾股定理在网格中的应用——格点线段

例5、试求下图中各条线段的长.

AFGEBCD5 H

⒋勾股定理在平面直角坐标系中的应用——两点间的距离

例6、根据已知两点的坐标，求出以这两点为端点的线段的长度：

⑴A（-1，2），B（4，2）；

⑵C（3，3），D（3，-1）；

⑶E（-1，-1），F（5，3）. y-1，2

yA4，2B

C3，3Ox

OD3，-1xyF5，3y

OE-1，-1F5，3OE-1，-1x

xG5，-1[思考]同学们可以用类似的方法求出平面直角坐标系中任意两点间的距离吗？

yQx2，y2yQx2，y2Px1，y1OxPx1，y1ORx2，y1x[析]如图，过点P作PR∥x轴，过点Q作QR∥y轴，则

PR⊥QR，点R的坐标为（x2，y1），依题意可得：

6

PRx2x1

，QRy2y1根据勾股定理可得：

PQPRQRx2x12222y2y122

2yyPQPR2QR2xx2121

[结论]⑴水平线段的长度等于两个端点横坐标差的绝对值；

⑵竖直线段的长度等于两个端点纵坐标差的绝对值；

⑶斜线段的长度（任意两点间的距离）等于横差方与纵差方和的算术平方根. [相关练习]

根据已知两点的坐标，求出以这两点为端点的线段的长度：

⑴A（-2，5），B（4，5）；

⑵C（2，-3），D（2，4）；

⑶E（-2，5），F（4，-3）. 五、课时小结

⒈勾股定理再认识；

⒉勾股定理的亲戚——勾股定理的逆定理；

⒊温故而知新

⑴勾股定理的几何意义；

⑵利用勾股定理造无理数；

⑶勾股定理在网格中的应用——格点线段；

⑷勾股定理在平面直角坐标系中的应用——两点间的距离. 7

六、课外作业

制作“勾股定理”这一章的思维导图. 8