4.5建立一次函数模型解决实际问题教学设计一等奖

新课标(XJ)

数学

八年级下册

典案一

教学设计

课题

第2课时

利用一次函数对邻近数据做决策

知识技能

教

学

目

标

授课人

1.使学生能正确理解在满足两个条件时能确定一次函数模型．

2．能根据所给信息(图象、表格、实际问题等)，利用待定系数法确定一次函数的表达式，并利用函数的表达式去验证是否与事实相吻合.

根据实际问题进行有选择性地利用待定系数法求一次函数模型的思考.

通过函数图象获取信息和利用函数表达式去预测函数值在实际问题中的应用.

通过函数图象来解决实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，使他们能积极参与数学活动，进而更好地解决实际问题.

数学思考

问题解决

情感态度

教学

一次函数模型的求解与应用性的预测.

重点

教学

在正确建立一次函数模型的基础上针对不同问题进行预测.

难点

授课

类型

教具

教学

步骤

新授课

课时

三角板(多媒体：PPT课件、几何画板)

教学活动

师生活动

1.建立函数模型和待定系数法的概念是什么？(学生回顾) 2．用待定系数法求一次函数表达式的基本步骤是什么？(学生总结：设，代，解，返回) 3．利用待定系数法求一次函数模型需要知道__两点__的坐标. 设计意图

回顾

从三个基本的问题入手，点出我们在课堂上所必须掌握的相关知识.

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(续表) 【课堂引入】

确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法就是利用图象去获得经验公式，这种方法的步骤是：

(1)通过试验，获得数量足够多的两个变量的对应值．

(2)建立合适的直角坐标系，在坐标系内以各对应值为坐标进行描点，并用活动

一：

创设

情境

导入

新课

描点法画出函数图象．

(3)观察图象的特征，判定函数的类型．

如：生物学家测得7条成熟雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x的数据如下表(单位：m)：

吻尖到喷水

孔的长度x(m) 全长y(m) 1.78 10.00 1.91 10.25 2.06 10.72 2.32 11.52 2.59 12.50 2.82 13.16 2.95

13.90 先概述知识要点，再引出情境问题，针对多个点的问题，我们首先采用观察其变化趋势的方式，确定其模型符合哪种函数，然后再通过对不同的数据进行代入整理，归纳出我们所要的结论．本导入采用学生小组讨论交流与合作的方式，最能体现其应用性. 观察所列出的7对对应值，这些对应值是否能用一次函数刻画两个变量x和y的关系？

(小组讨论选用哪几组的数据最合理，解决问题最简单) 本节我们就针对这方面问题进行探究. 【探究】

一次函数模型与实际问题的预测

国际奥林匹克运动会早期，男子撑杆跳高的记录近似地由下表给出：

年份

高度(米) 1900 3.33 1904 3.53 1908

3.73 问题：观察表格中第二行数据，可以为奥运会的撑杆跳高记录与时间的关系建立函数模型吗？

教师引导学生发现：上表中每一届比上一届的记录提高了0.2米，即成绩是随年份均匀地变化的，由此可建立一次函数的模型. 活动

二：

实践

探究

交流

新知

用t表示从1900年起增加的年份，则在奥运会早期，男子撑杆跳高的记录y与时间t的函数表达式是怎样的？

做一做，学会预测. 学生活动：

(1)试用上述所求的公式预测1912年奥运会的男子撑杆跳高的记录. 学生在练习本上独立完成，做完后与同伴讨论交流结果，教师做出评价. 教师提供1912年奥运会男子撑杆跳高的记录约为3.93米．这说明所建立的函数模型在已知数据的前提下对邻近数据做预测是与实际事实比较吻合的. 试用所求公式预测1988年的奥运会男子撑杆跳高的记录，求得结果为7.73米，但当年的记录只有6.06米，经比较远低于所求的结果，这表明用所建立的函数模型，对远离已知数据做预测是不可靠的. (2)展开讨论：为什么用公式预测1988年的奥运会的男子撑杆跳高的记录会不可靠？(让同学们展开激烈讨论，畅所欲言，此乃开放性问题，教师应做出鼓励性评价)

以教材的“动8脑筋”问题为基础，在教学上总结与发散，特别是针对函数模型的预测结果与事实是否相吻合讲解的很到位，让学生在扎实的基础上，在师生的共同参与下，突出模型与事实的符合性与背离性.

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(续表) 【应用举例】

例1

[教材P136例2]

请每位同学伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距．已知指距与身高具有如下关系：

指距x(cm) 身高y(cm) 19 151 20 160 21

169 例题的应用是将关系式与求函数值紧密结合，同时对函数值的预测做出合理的分析与判断，突出函数的实际应用性，在教学中，我们在数据对比的前提条件下，充分调动学生讨论的积极性，让学生全面认识数据的计算性与合理性.

(1)求身高y与指距x之间的函数表达式；

(2)当李华的指距为22 cm时，你能预测他的身高吗？

图4－5－17 变式

已知鞋子的“码”与“厘米”之间的对应表达如下表所示：

码

厘米

34 22 35 22.5 36 23 37 23.5 38

24 设鞋子的“码”为x(码)，“厘米”为y(厘米)，由表格易知y是x的一次函数，设y与x之间的函数表达式是__y＝0.5x＋5__. [解析] 设鞋子的“码”为x(码)，“厘米”为y(厘米)，则y与x之间的函数22＝34k＋b，k＝0.5，表达式是y＝kx＋b，∴解得∴y与x之间的函数22.5＝35k＋b，b＝5，表达式是y＝0.5x＋5.

活动

三：

开放

训练

体现

应用

【拓展提升】

例2

下表是某摩托车厂2015年前6个月摩托车各月产量：

x(月) y(辆) 1 550 2 600 3 650 4 700 5 750 6

800 (1)根据表格中的数据，请说出随着月份的变化，产量的变化趋势是什么？

(2)根据表格中的数据，试用含x的代数式表示y；

(3)按照此趋势，试求2015年12月摩托车的月产量. 解：(1)根据表格中的数据可得出随着月份的增大，产量也随着增大. (2)根据图表中的数据可得出此函数是一次函数，设函数的表达式为y＝kx＋k＋b＝550，b，将(1，550)，(2，600)代入，得

2k＋b＝600，k＝50，解得故y＝50x＋500. b＝500，(3)当x＝12时，y＝50×12＋500＝1100(辆). 即2015年12月摩托车的月产量是1100辆. 例3

运动时心跳速率通常和人的年龄有关．用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，则b＝0.8(220－a). (1)正常情况下，一个15岁的少年运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？

图4－5－18 (2)当一个人的年龄增加10岁时，他运动时承受的每分钟心跳最高次数有何变化？变化次数是多少？

有效的拓展训练全面培养学生的能力，特别从数据的选取和数据的对比分析中锻炼学生如何去考虑所求数据与生活实际的关联性.

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(续表) (3)一个45岁的人运动时，10秒心跳次数为22次，请问他有危险吗？为什么？

解：(1)b＝0.8(220－a)＝0.8(220－15)＝164，故一个15岁的少年运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次．

(2)增加10岁为0.8(220－a－10)＝(176－0.8a－8)次，原来为0.8(220－a)次，变化的次数为(176－0.8a－8)－0.8(220－a)＝－8，故当一个人的年龄增加10岁时，他运动时承受的每分钟心跳最高次数减少，减少了8次．

7(3)没有危险．理由：b＝0.8(220－a)＝0.8(220－45)＝140，每秒为140÷60＝(次3活动

7/秒)，10秒为×10≈23次，23次＞22次，所以他没有危险．

3三：

开放

例4

声音在空气中的传播速度y(m/s)(音速)与气温x(℃)的关系如下表．

训练

体现

应用

气温x(℃) 音速y(m/s) 0 331 5 334 10 337 15 340 20

343 有效的拓展训练全面培养学生的能力，特别从数据的选取和数据的对比分析中锻炼学生如何去考虑所求数据与生活实际的关联性. (1)写出y与x之间的函数表达式；

(2)当x＝150时，音速y是多少？当音速为352 m/s时，气温x是多少？

b＝331，解：(1)设y＝kx＋b(k≠0)，∵x＝0时，y＝331，x＝5时，y＝334，∴5k＋b＝334，k＝0.6，解得∴y＝0.6x＋331. b＝331.(2)当x＝150时，y＝0.6×150＋331＝421，当y＝352时，0.6x＋331＝352，解得x＝35.

答：当x＝150时，音速y是421 m/s，当音速为352 m/s时，气温x是35 ℃. 当堂训练：P137练习T1，T2. 作业布置：P140习题4.5A组T3，T4. 当堂检测，及时反馈教学效果. 活动

【知识网络】

四：

课堂

总结

反思

归纳知识要点，形成解题的基本思路，让学生理清解题步骤.

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(续表)

【教学反思】

①[授课流程反思]

新课的导入以教材为蓝本，从教材的实例出发，清楚地渗透所讲知识，将求一次函数的表达式与验证函数值问题紧密联系，形成教学的互动，激励学生先认真学，后认真对比与分析，培养学生的数学分析与应用能力.

活动

三：

开放

训练

体现

应用

②[讲授效果反思]

本节课主要通过实际问题去构建一次函数模型，然后在此基从实例教学，综合反思各础上运用所求模型进行预测，但预测要求在已知数据邻近，方面的教学，让教师掌握本课的教学方法，总结教这样预测的结果才与事实更吻合．

学得失，便于下次的教学③[师生互动反思] 在教学中，由于实际问题的引入，激发了不同层次的学生的进步. 兴趣，使每一个学生都积极参与到课堂活动中．在课堂教学的互动中，教师注重了学生的有效参与和学生的个性发展，真正确立学生的主体地位，促进学生生动、活泼、积极地投入到有效的教学中，让本课的教学完成得非常好．

④[习题反思] 好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________

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