4.5一次函数与一次方程优秀教学实录

一次函数的图像和性质

知识要点

一、一次函数的图像

1.正比例函数y=kx(k≠0,k是常数)的图像是经过O（0，0）和M（1，k）两点的一条直线（如图13-17）. （1）当k＞0时，图像经过原点和第一、三像限；

（2）当k＜0时，图像经过原点和第二、四像限.

2.一次函数y=kx+b(k是常数，k≠0)的图像是经过A（0,b）和B（- 条直线，当kb≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：

（1）k＞0,b＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A （2）k＞0,b＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B （3）k＜0,b＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k＜0,b＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D ，0）两点的一

3.一次函数的图像的两个特征

（1）对于直线y=kx+b(k≠0),当x=0时,y=b即直线与y轴的交点为A（0,b）,因此b叫直线在y轴上的截距. （2）直线y=kx+b(k≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A（0，b）和B（- ，0）.设直线与x的夹角为α，则tgα=| 因此|k|=tgα. 1.直线在y轴上的截距是 |=|k|，由于角α：0＜α＜90°，tgα＞0,2.直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点 ，于y轴交于点 4.一次函数的图像与直线方程

（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数. 为什么直线方程不一定都是一次函数？ （2）与坐标轴平行的直线的方程. ①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）

②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，如图13-20. 二、两条直线的关系

与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b,若l1与l2相交，则k1≠k2;若k1≠k2，则l1与l2不平行，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解. 若两直线y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b平行，则有 若两直线y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b,相交，则有 三、一次函数的增减性

1.增减性

如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性. 2.一次函数的增减性

一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：

（1）k＞0时，y随x的增加而增加；

（2）k＜0时，y随x的增加而减小. 复述一次函数增减性

3.待定系数法求一次函数的解析式：

若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：

（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)

（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=k1x1+b①y2=k2x2+b2②

（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值. 这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法. 若直线y=kx+b(k≠0)经过点A(3,5) ；B(-2,3)，用待定系数法求出这个直线方程来。

典型例题

例1

已知一次函数y=(m+3)x+(4-n),(1)m为何值时，y随x的增大而减小；（2）n为何值时，函数的图像与y轴的交点x轴下方；（3）m、n为何值时，函数图像与y=x+2的图像平行.

例2

当a、b＞0，ac＜0，直线ax+by+c=0不通过哪个像限.

例3已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图像都经过P（-2，1），且一次函数在y轴上的截距为3.（1）求这两个函数的解析式；（2）在同一坐标系中，分别画出两个函数的图像；（3）求这两个函数的图像与y轴围成的三角形的面积.

例4已知函数y=|x-a|+|x+19|+|x-a-96|，其中a为常数，且满足19＜a＜96,当自变量x的取值范围为a≤x≤96时，求y的最大值.

例5 已知直线y=kx+b过点

直线的函数解析式。

，且与坐标轴围成的直角三角形的面积为，求该例6如图13-24，某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系为一直线，由图中可知行李的重量不超过多少公斤，就可以免费托运？