二次根式应用教学实录

《二次根式》教案（第2课时）

一、内容和内容解析

1．内容

二次根式的性质．

2．内容解析

本课在学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质以及解代数式的概念．二次根式的性质是二次根式化简和运算的基础，应让学生熟练掌握和灵活运用．

本节课的教学重点是：理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计算和化简．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）理解二次根式的性质：

22；aa（a≥0）．

（a）a（a≥0）（2）会利用二次根式的性质进行简单的计算和化简．

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：对于二次根式的性质，通过具体问题，让学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般归纳出结论．

达成目标（2）的标志是：学生能够根据具体的问题灵活的运用二次根式的性质进行计算和化简．

三、教学问题诊断分析

对于二次根式的性质，重在让学生理解，而不是把结论直接告诉学生，让学生去机械记忆．因此，在教学过程中，要充分利用教材的“探究”栏目，让学生经历二次根式性质的探究过程，引导学生由具体到抽象，得出一般性结论，并发现开方运算与平方运算的关系．培养学生由特殊到一般的思维方式，提高归纳、总结的能力．二次根式性质的灵活运用，关键在于精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力．

四、教学过程设计

（一）自主探究

1．二次根式的性质（a）a（a≥0）的探究．

问题1 你能解释下列式子的含义吗？

21222，，，．

（4）（2）（0）3让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方．

问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得出结论的依据．

22＝__________，＝__________，

（4）（2）212＝__________，＝__________．

（0）3师生活动：学生独立完成填空后，重在让学生展示其思维过程，看学生是怎样得出结论21222的．由于4＝2，0＝0，学生很容易得出＝4．＝0对于、（4）（2）（0）3，学生理解起来有一定困难，需要教师的引导：根据算术平方根的意义，可设x2（x＞0），则221122＝．

x2，把x2代入x2，可得（2）＝2，同理可得33问题3

从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？

引导学生归纳得出二次根式的性质：．

（a）a（a≥0）设计意图：引导学生由具体到抽象，得出一般性的结论，并发现开平方运算和平方运算的关系和内在联系．

2．二次根式的性质（a）a（a≥0）的运用．

【例1】计算：

（1）（1.5）； （2）（25）．

解：（1）（1.5）＝1.5；

22（2）（25）22（5）4520．

2222222解析：（1）直接运用；

（a）a（a≥0）

（ab）ab这一结论，整式的运算性质在实数范围内都（2）中运用到整式的运算性质适用．

设计意图：让学生学会运用二次根式的性质（a）a（a≥0）解题．

3．二次根式的性质a2a（a≥0）的探究．

问题1

你能解释下列式子的含义吗？

2222222，0.12，，02

3问题2

填空：

222＝__________， 0.12＝__________，

22＝__________， 0＝__________．

3问题3

从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？

师生活动：引导学生归纳得出二次根式的又一个性质：aa（a≥0）．

2问题4

根据二次根式的性质a2a（a≥0），可得（5）525．当a＜0时，

22

a2＝__________．2师生活动：引导学生从具体的数（5）525中得到答案，a2a．最后师生，a（a≥0）2aa共同总结：由算术平方根的定义，可得

a（a＜0）．问题5

对于性质，逆向思考可得：a（a）（a≥0）请根据这一结（a）a（a≥0）论完成填空：

22（ ）； （2）3（ ）．

（1）222（2）；师生活动：学生独立思考，并完成．（1）2（2）3（3）．

问题6

谈一谈你对（a）与a的认识．

师生活动：引导学生从式子的读法、意义、被开方数的取值范围、运算结果等方面加以辨别．

2222

2区别：①表示的意义不同．表示非负实数a的算术平方根的平方；a2表示实数（a）a的平方的算术平方根．

②运算的顺序不同．（a）是先求非负实数a的算术平方根，然后再进行平方运算；而2a2则是先求实数a的平方，再求a2的算术平方根．

2③取值范围不同．在中，a只能取非负实数，即a≥0；而在a2中，a可以取一（a）切实数．

2④写法不同．在中，幂指数2在根号的外面；而在a2中，幂指数2在根号的里（a）面．

，a（a≥0）⑤结果不同．(a)2a（a≥0），而a2a

a（a＜0）．联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．

②两式运算的结果都是非负数，即

（a）≥0，a2≥0．2③仅当a≥0时，有（a）2

a2．设计意图：训练和培养学生由特殊到一般的认识过程，观察对比的能力，提高归纳总结的能力．明确性质的区别和联系．

4．二次根式的性质aa（a≥0）的运用．

【例2】化简：

2（1）16； （2）（5）．

2解：（1）16424；

2（2）（5）525．

设计意图：让学生学会运用二次根式的性质aa（a≥0）进行化简．

（二）综合应用，深化提高

计算下列各式：

2

522（1）(16)； （2）(0)； （3）48；

2（4）(33)2； （5）9； （6）(4)．

25解：（1）(16)2＝10；

16； （2）(0)2＝0； （3）48＝（4）(33)2＝3； （6）(4)2＝4．

27； （5）9＝设计意图：让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力．

（三）归纳总结

回顾我们学过的式子，如5，a，a+b，ab，，x3，3，a（a≥0）这些式子有哪些共同特征？

（1）含有表示数的字母；

（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．

用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式．

（四）课堂小结

（1）你知道了二次根式的哪些性质？

（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？

（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？

（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．

（五）布置作业

1．计算：

2st222（1）； （4）(55)2；

（5）； （2）（0.2）； （3）7222222（5）(10)；

（6）7； （7）； （8）．

75322设计意图：考查二次根式性质的运用．

22．利用a=（a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式．

（a）

（1）9；

（2）5；

（3）2.5；

（4）0.25；

（5）1　； （6）0．

2设计意图：让学生进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力．

3．把多项式n56n39n在实数范围内分解因式．

设计意图：二次根式的性质和因式分解的综合运用．

作业答案：

2；

（4）125；

722（5）10；

（6）14；

（7）；

（8）．

351．（1）5；

（2）0.2；

（3）122222．（1）3；

（2）(5)；

（3）(2.5)；

（4）0.5；

（5）；

（6）02．

22223．解：n56n39nn（n46n29）．按照n（n23）n（n3）（n3）2因式分解的一般步骤，先对多项式n56n39n提取公因式，得n，再利用完（n46n29）全平方公式分解，得n(n23)2，要求在实数范围内分解，所以可以将3写成((3)2，再运用平方差公式进行因式分解．

五、目标检测设计

1．判断下列等式是否成立

（1）(19)219 （ ）； （2）(19)219 （ ）；

（3）(19)219 （ ）； （4）(ab)2ab （ ）；

2a≤0）（5）(ab)2ab （ ）； （6）aa（ （ ）．

设计意图：考查二次根式性质的运用．

2．（1）已知a＜0，化简二次根式a3b的正确结果是（ ）．

A．aab B．aab

C．aab D．aab

（2）把m1根号外的因式移到根号内，得（ ）．

mA．m B．m C．m D．m

设计意图：让学生进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力．

3．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：

caob

化简：a2|ac|(cb)2|b|的结果是：______．

设计意图：二次根式的性质和数轴的综合运用．

4．若a114（0＜a＜1），则a＝______．

aa设计意图：二次根式的性质和完全平方式的综合运用．

目标检测答案：

1．（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）√．

2．（1）A．（2）C．

3．0．

4．－2．