构建知识体系课时教案

第十七章

勾股定理复习课教案

一、内容和内容分析

1、内容: 本章主要内容是勾股定理及其逆定理。

2、内容分析: 勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形非常重要的性质，有极其广泛的应用．从而搭建起了几何图形与数量关系之间的一座桥梁，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦．所以，勾股定理被认为是平面几何乃至整个数学领域中最重要的定理之一．

3、本章知识结构图

4、学情分析：

在之前的学习中，学生已经对勾股定理、勾股定理的逆定理有了比较充分的了解，并能应用相关知识解决一些问题。本节课是通过复习把勾股定理及其逆定理联系统一起来，使学生能够比较熟练地应用相关知识来解决实际问题并渗透本章之中所蕴含的典型数学思想。

二、目标和目标解析

1、学习目标：

⑴、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题. ⑵、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形. ⑶、通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

2、能力目标：

⑴、合情推理意识和主动探究

⑵、说理和简单推理的能力

⑶、运用勾股定理解决一些实际问题，体会它的文化价值。

三、教学过程设计

（一）、复习引入：

教师出示三角板。

提问：1、这个三角板是什么图形。

2、直角三角形的定义。

3、直角三角形的两个锐角有什么关系。

4、如果知道一个三角形有两个角互余能得到什么结论，为什么。

（二）、对于勾股定理的复习：

内容：直角三角形中两条直角边的平方的和等于斜边的平方。

a2 + b2 = c2

变形： b2 = c2 - a2 a2 = c2 - b2

证明方法：一般是面积证法 (数形结合、分割转移、出入相补)

例：回顾赵爽弦图证法(赵爽弦图的证法是典型的数形结合，他用几何图形的割、补、拼来证明数之间的恒等关系，既严密又直观。稍晚的刘徽在证明时也是用的以形证数的方法。) 应用：1、已知直角三角形的两边求第三边

2、作长度为无理数的线段

3、推导线段之间的关系

4、最短路径问题

（三）、对于勾股定理的逆定理的复习：

内容：如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2那么这个三角形

是直角三角形

证明思路：通过构造全等的直角三角形

作用：1、由三边的关系推导一个三角形为直角三角形

2、证明线段间的垂直关系

判断一个三角形是直角三角形的步骤：

1、确定最大边C 2 2 22、验证a+ b= c若成立则是直角三角形；若不成立则不是。

对勾股数的复习：常见的勾股数3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41；11、60、61；20、21、29.（注意：1、都是正整数；2、有时两种情况讨论。）

（四）、互逆命题、互逆定理。

命题都有逆命题但不一定都有逆定理，只有证明是正确的逆命题才能称作逆定理。

（五）实际应用：

练习一：

1、如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是(

) A．12米 B．8米 C．5米 D．5或7米

2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，

B则△ABC（

）直角三角形。（填“是”或“不是”）

C

教师提问：通过构造直角三角形先利用勾股定理求出AAB,BC,CA三边的长度、再利用勾股定理的逆定理来判断三角形ABC的形状。教师追问1、斜边是谁？2、直角是谁？3、你会求三角形ABC的面积吗？有几种方法？（直角三角形的面积公式和割补法。） 教师总结：这组练习实际上是数形结合的思想的体现：数形结合是数学中基本的思想，也是代数与几何的密切联系所在。

练习二： 3、已知一个三角形的两边分别为6和8，若想成为直角三角形,则它的第三边 为

4、

在△ABC中，AB=13，AC=20，高AD=12，

则BC的长为

教师总结：这组联系实际是分类讨论的思想的体现：在某些问题尤其是没有给出图形的问题的解决中，一定要注意题目可能存在的多种情况。

练习三： 5、如图，已知在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13.求四边形ABCD的面积．

教师提问：如何添加辅助线，为什么要连接AC？你是如何想到的？连接AC的好处是什么？这道题是面积的那种求法？（割补法，与第二题是一补一割。）

教师总结：勾股定理是解决直角三角形中线段问题有效的方法，有时为了需要，作垂线构建直角三角形模型是行之有效的办法。通过构造直角三角形化非直角三角形的问题为直角三角形并利用勾股定理来解决问题，是本章化归思想的体现。既可以把数量关系的问题转化为图形的问题来解决也可以把图形的问题转化为数量关系的问题来处理。

练习四： 6、已知直角三角形的纸片ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC上，现将AC沿直线AD折叠，使它可以落在斜边AB上，求此时CD的长。

教师提问：1、由∠C=90°，AC=6，BC=8，这三个已知条件可以得到什么？

2、什么是折叠？

3、轴对称可以得到什么结论？

4、找全等三角形要什么结论？

5、对应边有谁、对应角有谁？

6、图形中共有多少个直角三角形？

7、条件最终都能在那个三角形中得到体现？

8、如何列方程？

教师总结：方程的思想：设未知的边或角为X，通过勾股定理列方程从而使问题得到解答。是本章方程思想的体现。

7、如图,矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C’处，BC与AD交于点E，AD=8，AB=4，求①DE的长. ②重叠部分△EBD的面C'积

AE

BDC

注意学生的多种解法的情况。

（七）、课堂小结：

1、本章的内容不论是勾股定理还是逆定理都是研究的直角三角形三遍之间的关系。

2、由数推形和由形倒数都是数学中数形结合思想的体现也是本章中最明显的特色之一。

板书设计

第十七章

勾股定理复习