2.1.2 向量的几何表示ppt课件教学实录

2.2.1向量加法运算及其几何意义

教材分析：本节课取自普通高中课程标准实验教科书数学4（必修·人民教育出版社A版）第二章2.2.1，向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它既是代数的对象，又是几何的对象。向量作为代数对象，可以像数一样进行运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线，平面，切线等几何对象；向量有长度，可以解决有关几何对象得长度，面积，体积等几何度量问题。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，因此，向量是集数，形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。同时也是重要的物理模型，平面力场，平面位移以及二者混合产生的做功问题，都可以用向量空间来刻画和描述。向量不仅沟通了代数与几何的联系，而且体现了近现代数学的思想，它在高中数学中的重要地位是不言而喻的。

学生情况：学生已经通过2.1的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线向量，在学习物理的过程中，已经知道位移，速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则。为本课题的引入提供了较好的条件。

三维教学目标: 一、教学知识目标: ⑴掌握向量加法的定义

⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量

⑶理解向量加法的运算律

二、教学能力目标：

让学生了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学和物理中的一些问题，培养类比、迁移、分类、归纳等能力。发展运算能力和解决实际问题的能力。

三、情感态度：

理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。

教学重点、难点

教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量. 教学难点：向量的运算律的理解

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授课类型：新授课

教学过程

1.复习回顾

向量的概念既有大小又有方向的量

向量的表示方法有向线段表示,记着AB或a

向量的模有向线段的长度,记着AB

零向量、单位向量的概念

长度为0的向量叫做零向量,记着0,长度为1的向量叫做单位向量

平行向量的定义

(1)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,(2)规定零向量与任一向量平行

相等向量的定义长度相等且方向相同的向量

2.讲授新课

向量的三角形法则

思考1:位移是既有大小又有方向的量，如何求位移和？

例如某人向东走1里从A到达B,接着向南走1里从B到达C,他的位移怎么求? 北西南C东

ABABBCAC

求位移和就是求两个向量和的运算——向量的加法. 向量的加法定义:求两个向量和的运算——向量的加法. 从上面的位移和的方法我们来模仿求向量的和即向量的加法

例如如下图OAAB

BOAAB=OC

OA- 2 -

思考2:对于两个首尾不相连的向量，我们如何定义两个向量的和？

我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置，引导学生通过平移向量，结合位移和的求法得出求向量和的方法并命名为三角形法则。

b ab Aa+b Cb aB在平面内任取一点A,作AB=a, BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即

a+b=ABBCAC

我们把这种方法叫做向量加法的三角形法则

思考3：观察向量a、b、ab的连接方式，你能总结这种三角形法则的规律吗？

(引导学生回答三角形法则如何操作)把第二个向量的起点平移到第一个向量的终点，和向量就是第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量

引导学生总结三角形法则的特点：向量首尾相连

（1）规定：a+0=0+ a= a （2）a与b共线时三角形法则同样适用

同向

反向

A

B

C C

A

B 思考4：多个数可以相加，那么多个向量能否相加，若能相加后的结果是什么呢？

（3）使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量相加。

练习ABBCCDDEAE

向量的平行四边形法则

思考5：物理中共点力是如何求它的合力的？

CF2FD

AF1B- 3 -

力F是力F与F的合力，力F在以F、F为邻边的平行四边形的对角线上，大1212小等于平行四边形对角线的长。

引导学生得出求向量和的方法并命名为平行四边形法则。

作法以同一点O为起点的两个向量a、b为邻边作

OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和. 如果a与b共线时平行四边形法则能适用吗？（不适用）

例1如图，已知向量a、b，求做向量ab 作法一：在平面内任取一点O，作

 OAa,ABb，则OBab

b a

O a A b a b

B 作法二：在平面内任取一点O，作

 OAa,OBb，以OA、OB为邻边做OACB，连接OC，则OCab

b a

O b B a a A b C

思考6：两个向量的和仍是一个向量，那么|a+b|与|a|+|b|的大小关系如何？

（1）当向量a,b不共线时，ab的方向与a,b不同向，且|ab||a||b| （2）当向量a,b同向时，ab的方向与a,b同向，且|ab||a||b| （3）当向量a,b反向时，|ab||a||b|或|ab||b||a|；

abba(4)当向量a=0时, |+|=||,||=0,则|ab||a||b|

结论：对于任意的两个向量a,b，有等号

abab当且仅当方向相同或有一个为0时取思考7：向量的加法是否和数的加法一样，满足交换律与结合律？

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（1）向量加法的交换律：a+b=b+a

（2）向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 证明：（1）如图，作ABa，ADb，以AB、AD为邻边作

ABCD,则BCb，DCa. 因为ACABBCab, ACBCABba

所以ab=ba

aCDbAa+bbBaDa +b+cb +ca +bAcCaBb

(2)

证：如图：使ABa，

BCb，

CDc

则(a+b) +c=ACCDAD，a+ (b+c) =ABBDAD

∴(a+b) +c=a+ (b+c) - 5 -

课堂练习

课本练习p84 1,2,3,4

课时小结

(通过本节课的学习你有哪些收获？) ①

向量加法的三角形法则（首尾相连）

②

向量加法的平行四边形法则

（两向量起点重合组成平行四边形两邻边） ③

向量加法满足交换律和结合律

④

注意：|a+b| ≤

|a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号.

课后作业

课本P91页习题2.2第 1，2，3题

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