2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课件配套优秀教案设计

新授课：2.3.1

平面向量基本定理

一、教学目标

重点:

了解平面向量的基本定理及其意义. 难点：平面向量基本定理的形成探究过程. 知识点：平面向量的基本定理. 能力点：转化思想的理解与应用. 教育点：通过介绍平面向量的基本定理，给学生渗透转化思想的应用.几何问题代数化的理解与应用. 自主探究点：平面向量基本定理的理解与广泛应用. 考试点：

向量的运算代数化，将数与形紧密地结合起来，这样几何问题就转化为学生熟知的数量运算.

拓展点：转化思想的应用理解．

二、复习引入

1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：a （1）|a |=|||a |；（2）0时a与a方向相同；0时a与a方向相反；0时a =0

2．运算定律

结合律：(

a)=() a

；分配律：(+) a=a+a，  (a+ b)=a+b 3.

向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =a. 【设计意图】复习回顾，便于学习新知．

【设计说明】学生探究回答．

三、探究新知

探究一：平面向量基本定理

问题1：已知非零向量a，那么对于同一平面内的任意向量AB，是否能用a线性表示？

问题2：如果平面内的向量不能由单个向量线性表示，又该如何具体表示？

问题3：给定平面内任意两个向量e1、e2，如何求作向量2e13e2和-2.5e12e2？

AB2e13e2，A'B'2.5e12e2

【设计意图】使学生在已有知识的基础上，探索新知，引出本课题．

【设计说明】教师引导大家回答演示．

问题4：对于同一平面内的任意向量，是不是都可以用向量e1、e2来表示呢？

CD2e13e2，EF3e14e2，GH3e1e2，MN3e1

平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2. 注：（1）e1、e2不共线，不唯一，非零；

（2）a是平面内的任意向量；

（3）1、2唯一确定. （）1e1//e2e1e2AB1e12e2(12)e2AB与e2共线,这与AB为任意向量矛盾AB2e13e2j13j2，故e1，不唯一e2分析：（3）aeeee

11221122（）e（）e0111222e、e不共线120 0 1122 1122

两向量的夹角：已知两个非零向量a、b，作OAa，OBb，则AOB，叫做向量a与b的夹角.

注：当=0时，a与b同向当=90时，a与b垂直，记作ab当=180时，a与b反向0，a与b的夹角范围是：180

AB与AC的夹角是：

60；AB与BC的夹角是：

120. 四、理解新知

平面向量基本定理几个关键点：

(1) 我们把不共线向量e1 ,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不唯一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1 ,e2的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一，1 ,2是被a ,e1 ,e2唯一确定的数量．

平面向量坐标表示给解决问题带来的一些方便，几何问题代数化，注意体会其中的思想与方法．【设计意图】进一步理解平面向量基本定理．

【设计说明】组织学生进行思考、交流，得到结论．

五、运用新知

例1：

已知ABCD的两条对角线相交于M，设AB=a，AD=b，试用a,b表示AM，MB，MC，MD.60

解：在ABCD中，ACABADab,DBABADabAM1ababAC

22221ababMBDB22221abMCACAM

2221abMDDBMB222

变式练习：

已知ABCD的CD边中点为E，BC边上靠近B的三等分点为F， 设AB=a，AD=b，试用a,b表示AE，FA，EF.方法：运用向量的线性运算法则将待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止. 【设计意图】让学生巩固对平面向量基本定理的理解．

【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．

例2：

e、e是不共线的非零向量，且a=e2e，b=e+3e.121212 (1)证明：a，b可以作为一组基底； (2)以a，b为基底，求向量c=3ee的分解式；12 (3)若4e3e=ab，求，的值.12

(1)证明：假设a=b(R)，则e2e(e3e)1212e,e不共线12112323不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底(2)设c=manb(m、nR)，得c3eem(e2e)n(e3e)121212(mn)e(2m3n)e12mn3m22m3n1n1c=2ab(3)由4e3e=ab，得124e3e=(e2e)(e3e)121212=()e(23)e12432331方法：利用基底表示向量的唯一性，列方程组求解.

例3：

用向量法证明三角形的三条中线交于同一点.

证明：如图ABC的两条中线CF与BE交于G点设AC=a，BC=b，其中AG=23ADAB=ab，AD=a12b再设AD与BE交于G点1则BE=1AG=AD，BG=BE2ab，11AG=aBG=2ab2b，11又AG=ABBG=(12)a(1)b11122AD==2AG=31321G与G点重合，得证.1

【设计意图】设置提问：引导学生看图分析，让学生能够通过这些问题，弄清向量的坐标表示及应用．

【设计说明】师生共同分析，抓住关键，提问学生看图回答．

六、课堂小结 1. 平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2. 2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°. 3. 用基底表示任意向量的方法：

法一：运用向量的线性运算法则将待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止. 法二：利用基底表示向量的唯一性，列方程组求解. 【设计意图】进行适时小结，让学生对这次课的学习有个系统的认识，加深学习印象．

七、布置作业 1．书面作业

必做题：P102习题2.3A组：3，4，5，6

选做题：P102习题2.3B组：3，4.

【设计意图】设计书面作业必做题，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了巩固学习效果；选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解．

八、教后反思

1.本教案的亮点是用心设置思考题，在学生已有的知识基础上得到要学习的问题，水到渠成．自主探究讲练结合，学生在独立或小组讨论中解决问题，很好的调动学生的积极性与主动性，提高了学生的解题能力．

2.建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须以学生为主体，加强互动探究．

3.本节课的弱项是如果课堂驾驭不好的化，时间上会有些紧张，学生在讨论的时候思维较宽泛，注意引导．

九、板书设计

2.3.1

平面向量基本定理

一、知识点

例1：

例2：

1.平面向量基本定理

例3：

若e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一课外思考

如图，在平行四边形ABCD中，

平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

ABa，ADb，E、M分别是AD、DC的几个关键点：

中点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为(1) 我们把不共线向量e1

,e2叫做表示这一平面内所基底分别表示向量AM和EF. 有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

课堂小结：教师带领大家复述本节课重点. 作业

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1

,e2的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一.

1 ,2是被a ,e1 ,e2唯一确定的数量．

必做题：P102习题2.3A组：3，4, 5, 6

选做题：P102习题2.3B组：3，4.