复习参考题优秀教学设计

第三章

三角恒等变换习题课1（学案）

一、学习目标

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；

2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；

3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 二、自主学习

（一）.温故知新

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β；

tan(α±β)＝tan α±tan β. 1∓tan αtan β2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin αcos α.

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

tan 2α＝2tan α. 1－tan2αb其中tan φ＝或

3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)aa其中tan φ＝. f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)b（二）自我检测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(

) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(

) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β可以变形为tan α＋tan β

1－tan

αtan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(

) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(

) 答案

(1)√

(2)√

(3)×

(4)√

12.若tan θ＝－，则cos 2θ＝(

) 34A.－

5答案

D 113.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β等于(

)

321A.

71B.

65C.

75D.

61B.－

51C.

54D.

5答案

A 4. in 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.

答案

2

2三、合作探究

考点一

三角函数式的化简

【例1】

cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(

) A.sin(α＋2β)

B.sin α

C.cos(α＋2β)

D.cos α

解析

cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. 答案

D

规律方法：

三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等. 考点二

三角函数式的求值

【例2】

(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280＝________. π317πsin 2α＋2sin2α7π(2)已知cos4＋α＝，<α<，则的值为________. 51241－tan α11(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________. 27cos 10°＋3sin 10°·解析

(1)原式＝2sin 50°

＋sin 10°·cos 10°13cos 10°＋sin 10°222sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·)·

cos 10°32cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×＝6. 2sin 2α＋2sin2α2sin αcos α＋2sin2α2sin αcos α（cos α＋sin α）1＋tan α(2)＝＝＝sin 2α＝sin sin α1－tan αcos α－sin α1－tan α1－cos απ2α·tan4＋α. πππ17π7π5ππ344＋α＝，所以sin＋α＝－，tan＋α＝－. 由<α<得<α＋<2π，又cos454412434532πsin 2α＋2sinαπ272728＋α－＝－，sin α＝－cos α＝cos，sin 2α＝.所以＝－. 44101025751－tan α28答案

(1)6

(2)－

75规律方法

(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值. (2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，π0，，选正、余选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是2ππ－，，选正弦较好. 弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为22

考点三

三角变换的简单应用

【例3】

已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A，1＋sin A)是共线向量. (1)求角A；

C－3B(2)求函数y＝2sin2B＋cos的最大值. 2解

(1)因为p，q共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，则sin2A＝3. 4又A为锐角，所以sin A＝3π，则A＝. 23C－3B(2)y＝2sin2

B＋cos＝2sin2B＋cos2cos 2B＋π－π－B－3B32π1－2B＝1－cos 2B＋＝2sin2B＋cos32π3312B－＋1. sin 2B＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin6222ππ5ππππ0，，所以2B－∈－，，所以当2B－＝时，函数y取得最大值，此时因为B∈266662πB＝，ymax＝2. 3规律方法

解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等. 四、学以致用

【训练1】

(1)2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________. 12cos4α－2cos2α＋2(2)化简：＝________. π2π2tan4－αsin4＋α解析

(1)原式＝4cos24＋2（sin 4－cos 4）2＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，

53因为π<4<π，所以cos 4<0，且sin 4

(1)－2sin 4

(2)cos 2α

2【训练2】

(1)4cos 50°－tan 40°＝(

) A.2

C.3

B.2＋3

2D.22－1

π43πα＋＋sin α＝－(2)已知sin，－<α<0，则cos α的值为________. 352113π(3)已知cos α＝，cos(α－β)＝(0<β<α<)，则tan 2α＝________，β＝________. 7142解析

(1)原式＝4sin 40°－sin 40°－sin 40°2sin 80°－sin 40°sin 40°4cos 40°＝＝

cos 40°cos 40°cos 40°2sin（120°－40°）－sin 40°3cos 40°＋sin 40°－sin 40°＝＝

cos 40°cos 40°＝3cos 40°＝3，故选C. cos 40°π433343α＋π＝－4. α＋＋sin α＝－(2)由sin，得sin α＋cos α＝－，sin3652255π3ππππα＋＝. 又－<α<0，所以－<α＋<，于是cos652366ππ33－4α＋－＝所以cos α＝cos. 66101π432tan α2×4383(3)∵cos α＝，0<α<，∴sin α＝，tan α＝43，∴tan 2α＝＝－. 2＝727471－tanα1－48ππ33∵0<β<α<，∴0<α－β<，∴sin(α－β)＝，∴cos β＝cos[α－(α－β)] 221411343331π＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，∴β＝. 7147142333－483π答案

(1)C

(2)

(3)－

104731【训练3】已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋cos 4x. 2(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；

αππ2－＝，求tanα＋的值. (2)若α∈(0，π)，且f48231112解

(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝2222π4x＋，

sin4π∴f(x)的最小正周期T＝. 2ππ3kππkπ5π令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z. 242216216kππkπ5π∴f(x)的单调减区间为2＋16，2＋16，k∈Z. αππ2－＝，即sinα－＝1. (2)∵f48243ππ＋tan43πππ3πππ3πα＋＝因为α∈(0，π)，－<α－<，所以α－＝，故α＝.因此tan＝34444243ππ1－tantan43tan

－1＋3＝2－3. 1＋3