2.1.3 相等向量与共线向量教学设计一等奖

学习目标.31理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.

知识点一

向量的定义和表示法

思考1

在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？

答

面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向. 思考2

对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？

答

利用有向线段来表示. 1.向量与数量

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示

(1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度. →→→(2)向量可以用有向线段表示，向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，记作|AB|.向量→→也可用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如AB，CD. 知识点二

向量的有关概念

向量名称

零向量

单位向量

平行向量(共线向量)

相等向量

定义

长度为0的向量，记作0

长度等于1个单位的向量

方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量平行

长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b

类型一

关于向量的概念和特殊向量的概念

例1

判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. →→①向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

→→④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC；

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. →→解

①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④⑤正确. →→⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.

跟踪训练1

判断下列命题是否正确，并说明理由. ①若a≠b，则a一定不与b共线；

→→②若AB＝DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

→→③在平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC；

④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；

⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；

⑥若a∥b，b∥c，则a∥c. 解

①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，→→故①不正确.②AB＝DC，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确.③在平行四边→→→→→→形ABCD中，|AB|＝|DC|，AB与DC平行且方向相同，故AB＝DC，③正确.④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确.⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确.⑥若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确. 类型二

平行向量与共线向量

例2

下列命题正确的是(

)

A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

答案

C 解析

由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时构不成四边形，所以不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选C. →→→跟踪训练2

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示与OA，OB，OC相等的向量.

→→→解

OA＝CB＝DO；

→→→OB＝DC＝EO；

→→→→OC＝AB＝ED＝FO.