复习参考题名师课堂实录

“平面图形中向量的表示和运算”复习课

教学目的：利用向量的共线、向量的数量积来表示平面图形中的向量，利用向量的数量积来进行向量的运算，熟练掌握三角变换公式. 教学重点：向量的数量积运算公式，平面图形的性质

教学难点：图形中的线段关系向量化，向量问题实数化

一、引入练习

题1

如图1，设点P,Q是线段AB的三等分点，若B Q P OAa,OBb，试用a,b表示向量OP,OQ. 解析

OPOAAPa1121ABaOBOAab. 33332212OQOAAQOAABOAOBOAab.

3333A O 图1 点评 平面内给定了两个不共线的两个向量作为基底，那么其它向量都可以用这组基底来线性表示. 题2 已知a4,b6，a,b的夹角为60，求：

（1）ab；（2）aab；（3）2aba3b. 解析 （1）ababcos6046112；

2（3）2aba3b2a2（2）aabaab161228；

25ab3b21651233616. 2点评 给定两个基底向量的模和夹角，就可以利用向量的乘法公式求解两个向量的线性形式之间的数量积. 题3 如图2，在平行四边形ABCD中，AB2,AD1,BAD60. （1）求ABAC；（2）求cosBAC. 解析 （1）ABACABABADABABAD

421cos605. （2）由于ACABAD2D C 22AB2ABADAD

22A 图2

B 42117. 从而AC7. 所以cosBACABACABAC557. 2714

点评 平面图形中的向量运算，关键抓住向量的乘法公式的灵活运用，以及向量化之后，向量的模和夹角. 二、基本例题

例1 如图3，在平行四边形ABCD中，已知AB8,AD5，D P C CP3PD，APBP2，则ABAD的值是 . 解析 由于APADDP1ABAD，

43BPBCCPABAD. 4A 图3 B 223113所以APBPABADABADABABADAD

4416231164ABAD2513ABAD2，

1622从而ABAD22. 点评 将所求的数量积中的两个向量看成基底，先将已知条件中的向量用这组基底表示，利用数量积运算得到方程来求解. 例2 （2017年江苏高考）如图4，在同一个平面内，向量C OA,OB,OC的模分别为1,1,2，OA,OC的夹角为，且tan7，OB,OC的夹角为45. 若OCmOAnOBm,nR，则B O 图4

解析1 由tan7可得sinA mn

. 752，cos152. 所以cos11713，

coscossinsin44452252251，

5从而OAOC12cos且OAOCOAmOAnOBmOAnOAOBmncos所以m23mn，

4531n.（1）

55同理OBOC12cos41，

且OBOCOBmOAnOBmOAOBnOBmcos23nmn，

45

所以3mn1. （2）

557,n，所以mn3. 44D C 联立方程组（1）（2）解得m点评

这里是利用数量积建立方程组来求解. 解析2

如图5，作CD//OA与OB的延长线交于点D. 5在OCD中，COB,C,D，

44B O 图5

A ODCDOC由正弦定理得，

sinCsin5sin44即ODCD2，

sin2sin142752，cos由于tan7可得sin152. 且sin所以OD71114，

sincoscossin444522522575,CD. 4475OBOA，

44由于OAOB1，且CD//OA，所以OCODDC又由于OCmOAnOB，所以m57,n，所以mn3. 44点评 这里通过作辅助线，构造三角形，利用正弦定理求出线段的长度，再将线段转化为向量，用基底表示，从而得到对应系数的值. 练习 1．如图，在ABC中，AD1AB，DE//BC交AC于E，BC3边上的中线AM交DE于N，设A用a,b表示向量ANBaA,Cb，正确的是（

C

）

A.

1111(ab)

B.

(ab)

C.

(ab)

D.

(ab)

2368

2. 在梯形ABCD中，已知AB//CD，AB2CD，M,N分别为CD,BC的中点．若4ABAMAN，则________.

53.（2016天津高考）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则AFBC的值为( B ) A．51111

B.

C.

D.

88484．如图，BC,DE是半径为1的圆O的两条直径，则FDFEBF2FO，等于( B ) A．3814

B．

C．

D．

49495．如图，平行四边形ABCD中，AB2,AD1，角A在AB边上，且AM3，点M1AB，则DMDB等于________．1 3M为CD的中点，BAD60，6. 菱形ABCD的边长为2，若N为菱形内任意一点(含边界)，则AMAN的最大值为________．9 三、总结

解决涉及几何图形的向量表示和数量积运算问题时，一定要注意如下几点：

1. 向量的表示一般是将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．向量的表示遵从平面向量基本定理，选定两个不共线的向量作为基底，其它任何向量都可以用它的线性形式表示，而且系数唯一. 2.一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补. 若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．

3. 根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．

4. 平面图形一般是三角形，四边形或者圆，如果没有给出图形，就必须先准确地作出图形，确定每一个点的位置．给出了图形，就必须按照图形和已知条件要求来求解. 5.当然，平面图形的向量表示除了上面讲的基底表示运算外，还有坐标运算，下节再总结复习.